Teorema de Morera

En análisis complejo, una rama de matemáticas, el Teorema de Morera, que recibe el nombre del matemático italiano Giacinto Morera (1856-1909), proporciona un criterio importante para demostrar que una función es holomorfa.

Sea una función de variable compleja definida en un conjunto abierto conexo en el plano complejo que satisface

para cada curva que sea a trozos en , entonces debe ser holomorfa en .

La suposición del Teorema de Morera es equivalente a que tiene una primitiva en .

El inverso del teorema no es cierto en general. Una función holomorfa no necesita poseer una primitiva en su dominio, a no ser que uno imponga hipótesis adicionales. El inverso sostiene, por ejemplo, que el dominio deber ser simplemente conexo; esto es el teorema integral de Cauchy, el cual declara que la integral de línea de una función holomorfa a lo largo de una curva cerrada es cero.[1]

El contraejemplo estándar es la función f(z) = , la cual es holomorfa en . En cualquier entorno simplemente conexo U en , tiene una primitiva definida por L(z) = ln(r) + iθ, donde z = re. Debido a la ambigüedad de θ hasta la adición de cualquier múltiplo entero de 2π, cualquier elección continua de θ en U bastará para definir una primitiva de en U. Y porque la derivada de una constante aditiva es 0, cualquier constante puede ser añadida a la primitiva y es todavía una primitiva de .

En un sentido seguro, el es el contraejemplo universal: para cada función analítica que no tiene primitiva en su dominio, la razón para esto es que no tiene primitiva en .

ReferenciasEditar

  1. Javier Pérez (junio, 2004), [1] Curso de Variable Compleja.