El teorema de Sard, también conocido como lema de Sard o teorema de Morse-Sard, es un resultado de Análisis matemático que afirma que la imagen del conjunto de puntos críticos de una función continuamente diferenciable de un espacio euclídeo o variedad a otro tiene medida de Lebesgue 0 (es decir, el conjunto de valores críticos es de medida nula). Esto hace que sea "pequeño" en el sentido de una propiedad genérica: un valor "genérico" del codominio es regular.

Enunciado editar

Más explícitamente (Sternberg (1964, Theorem II.3.1);Sard (1942)), sea

 

una aplicación de clase  , (i.e.,   veces continuamente diferenciable), donde  . Sea   el conjunto de puntos críticos de   el cual es el conjunto de puntos   en los cuales la Matriz Jacobiana de   tiene rango menor que  . Entonces la imagen   tiene medida de Lebesgue 0 en  .

Interpretación editar

Intuitivamente hablando, esto significa que aunque   pueda ser grande, su imagen debe ser pequeña en el sentido de la Medida de Lebesgue: mientras que   puede tener muchos puntos críticos en el dominio  , debe tener pocos valores críticos en la imagen  .

De manera más general, el resultado también es válido para aplicaciones entre variedades diferenciables   y   de dimensiones   y  , respectivamente. El conjunto crítico   de una función  

 

consiste en aquellos puntos en los que el diferencial

 

tiene rango menor que   como aplicación lineal (es decir, no es sobreyectivo). Si  , entonces el teorema de Sard afirma que la imagen de   tiene medida cero como subconjunto de  . Esta formulación del resultado se deduce de la versión para espacios euclídeos mediante la adopción de un conjunto numerable de parches coordenados. La conclusión del teorema es una declaración local, ya que una unión numerable de conjuntos de medida cero es un conjunto de medida cero, y la propiedad de tener medida cero un subconjunto de un parche coordenado es invariante bajo difeomorfismos.

Referencias editar