Teorema de la inversa acotada

propiedad topológica de las aplicaciones

En matemáticas, el teorema inverso acotado (también llamado teorema de aplicación inversa o teorema del isomorfismo de Banach) es un resultado de la teoría de operadores lineales acotados sobre espacios de Banach. Afirma que un operador lineal acotado bijective T de un espacio de Banach a otro tiene una aplicación inversa acotada T−1. Es equivalente tanto para el teorema de la aplicación abierta como para el teorema de la aplicación cerrada.

Generalización

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Teorema[1]

Si A : XY es una biyección lineal continua de un espacio vectorial topológico pseudometrizable completo (EVT) a un EVT de Hausdorff que es un espacio de Baire, entonces A : XY es un homeomorfismo (y por lo tanto, un isomorfismo de EVT).

Contraejemplo

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Este teorema puede no ser válido para espacios normados que no están completos. Por ejemplo, considere el espacio X de sucesiones x : N → R con solo un número finito distinto de cero términos equipados con la norma del supremo. La aplicación T : X → X definido por

 

es acotado, lineal e invertible, pero T−1 es ilimitado. Esto no contradice el teorema de la inversa acotada, ya que X no es completo y, por tanto, no es un espacio de Banach. Para ver que no es completo, considérese la secuencia de secuencias x(n) ∈ X dada por

 

converge como n → ∞ a la secuencia x(∞) dada por

 

que tiene todos sus términos distintos de cero y, por lo tanto, no se encuentra en X.

La completación de X es el espacio   de todas las secuencias que convergen a cero, que es un subespacio (cerrado) de un espacio ℓp(N), que es el espacio de todas las secuencias acotadas. Sin embargo, en este caso, la aplicación T no es sobre, y por tanto, no es una biyección. Para ver esto, basta con observar que la secuencia

 ,

es un elemento de  , pero no está en el rango de  .

Véase también

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Referencias

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Bibliografía

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