Teorema de la tangente

En trigonometría, el teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.

Fig. 1 - Un triángulo.

En la Figura 1, a, b, y c son las longitudes de los tres lados del triángulo, y α, β, y γ son los ángulos opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la tangente establece que:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\cfrac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\tan \left({\cfrac {\alpha +\beta }{2}}\right)}}$

Aunque el teorema de la tangente no es tan conocido como el teorema del seno o el teorema del coseno, es exactamente igual de útil, y se puede utilizar en cualquiera de los casos donde se conocen dos lados y un ángulo o cuando se conocen dos ángulos y un lado.

Demostración

Para demostrar el teorema de la tangente se puede empezar con el teorema del seno:

${\frac {a}{\operatorname {sen} {\alpha }}}={\frac {b}{\operatorname {sen} {\beta }}}$

Llamando "q" al resultado de este cociente, se obtiene que: $\scriptstyle {a\,=\,q\operatorname {sen} \alpha }$, $\scriptstyle {b\,=\,q\operatorname {sen} \beta }$, por tanto

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {q\operatorname {sen} \alpha -q\operatorname {sen} \beta }{q\operatorname {sen} \alpha +q\operatorname {sen} \beta }}={\frac {\operatorname {sen} \alpha -\operatorname {sen} \beta }{\operatorname {sen} \alpha +\operatorname {sen} \beta }}.$

Utilizando la fórmula de Simpson:

$\operatorname {sen}(x)+\operatorname {sen}(y)=2\operatorname {sen} \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\;$

con $\scriptstyle {x\,=\,\alpha }$ y $\scriptstyle {y\,=\,\pm \beta }$ se obtiene

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\operatorname {sen} \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{2\operatorname {sen} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}}={{\tan {\alpha -\beta \over 2}} \over {\tan {\alpha +\beta \over 2}}}$

• Datos: Q468887