Teorema de los residuos

El teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.

Enunciado

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Sea   una función analítica en un dominio simplemente conexo  , excepto en un número finito de puntos   que constituyen singularidades aisladas de  . Sea   una curva en  , simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de  . Entonces se tiene:

 


donde   es el Residuo de la función   en el punto singular  .

Demostración

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Sea   holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial   es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe que la integral   es igual a   siempre que   sea una curva homotópica con  .

En específico, se puede considerar una curva tipo   la cual tiene una rotación alrededor de los puntos   sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva   sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, solo se necesitan sumar las integrales de   alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea   parametrización de la curva alrededor del punto  , entonces se tiene  , por lo tanto:

 

donde  , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas   están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio  . Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda  :

 

Sea   fija y aplíquese la serie de Laurent para   en  

 

de tal forma que  , donde c-1, es el coeficiente de   en la serie de Laurent. Entonces tenemos:

 

Obsérvese que si  , se tiene:

 

mientras que para   se tiene que los términos de la suma se anulan, debido a que:

 

 

Véase también

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Enlaces externos

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