Abrir menú principal

Teorema del factor

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio tiene un factor si y sólo si es una raíz de , es decir que .

EjemploEditar

Si se quisieran encontrar los factores de  , se tantean las raíces de   para obtener los factores  . Si el resultado de sustituir   en el polinomio es igual a 0 (es decir, si   es raíz), se sabe que   es un factor. Teniendo en cuenta que los candidatos a raíces (racionales) de   son   por el teorema de la raíz racional, se va probando con ellos.


¿Es   un factor de  ? Para saberlo, se sustituye   en el polinomio:

 


y se determina que   no es un factor de  . Se prueba ahora con   de la misma forma; es decir, sustituyendo y comprobando si es   una raíz del polinomio:

 


Por tanto,   es un factor porque -1 es una raíz de  .


Para hallar otros factores, basta con probar con todos los posibles candidatos a raíces o encontrar un factor e ir dividiendo el polinomio por el factor hallado para obtener nuevos polinomios de menor grado en cada iteración; en este caso, se construiría


 


Una vez probados todos los candidatos a raíces, se concluiría que   no tiene factores racionales (es decir, no existen más factores de la forma   con  ), por lo que   sólo tiene un factor racional. No obstante, por el teorema fundamental del álgebra, se sabe que   tiene dos factores más que serán, o ambos irracionales ( ), o ambos complejos no reales ( ).