Topología usual

En Topología (rama de las matemáticas) se emplean muchas topologías (colección de abiertos). Una de las fundamentales y más empleadas es la topología usual.

Es un resultado conocido del Análisis Matemático que todas las normas sobre son equivalentes, esto quiere decir que todas las métricas asociadas a normas de inducen a la misma topología (colección de abiertos), es decir, que todas las normas sobre dan lugar a los mismos abiertos. El conjunto de estos abiertos es una topología y se le conoce como topología usual.[1]

Puntualizar que esto no es extensible a cualquier métrica, sino a las asociadas a las normas. Concretamente se tiene que la topología usual sobre es la topología inducida por la distancia usual de forma que .

Al ser las bolas abiertas para esta distancia los intervalos abiertos y acotados, entonces, se da que en el espacio topológico los abiertos son las uniones arbitrarias de intervalos con .[2]

Hay un resultado importante respecto a la topología usual. Al inducir la topología usual sobre un conjunto finito se obtiene la topología discreta. Esto es la topología inducida con Y el conjunto de los números naturales ℕ.[3]

ConvergenciaEditar

Las sucesiones convergentes en   convergen a un único punto.

La demostración se basa en que, al ser inducida la topología usual por la distancia usual,  , se tiene para todo par de puntos x,y de  (   ) existen dos abiertos   disjuntos ( ), luego   es un espacio Hausdorff. Y se sabe que en un espacio Hausdorff toda sucesión converge a un único punto. Fin de la demostración.

EjemplosEditar

  1. Como se ha comentado antes en   los abiertos son los intervalos y sus uniones.
  2. En   se puede considerar la topología usual como la inducida por   y en general por cualquier otra distancia asociada a una norma.
  3. Los abiertos son uniones de bolas abiertas.[4]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar