Abrir menú principal

En topología, la topología traza (también, inducida o relativa) es la topología que se define sobre un subconjunto a partir de la topología del espacio topológico .

Definición formalEditar

Sean   un espacio topológico e   un subconjunto de  . Entonces, la topología traza sobre   es la topología menos fina que hace continua a la inyección canónica  , es decir, la aplicación definida por  .

Es posible probar que los abiertos de la topología traza sobre   son las intersecciones de   con los abiertos de  :

 .

La topología traza se denota mediante   y se dice que   es un subespacio topológico del espacio  . Si la aplicación   es abierta, se dice que   es un subespacio abierto, y que   es un subespacio cerrado si   es cerrada.

PropiedadesEditar

Propiedades de la topología traza sobre un subespacio  :[1]

  • Un conjunto   es abierto en la topología   si, y sólo si, existe un abierto   tal que  .
  • Un conjunto   es cerrado en la topología   si, y sólo si, existe un cerrado   de   tal que  .
  • Si  , entonces  .
  • Si   es un subespacio abierto de  , un conjunto   es abierto en   si, y sólo si, es abierto en  .
  • Si   es un subespacio cerrado de  , un conjunto   es cerrado en   si, y sólo si, es cerrado en  .

Propiedades hereditariasEditar

Una propiedad topológica   se dice que es hereditaria si los subespacios de un espacio topológico que cumple   también cumplen  .

Ejemplos de propiedades que son hereditarias:[2]

La compacidad y la propiedad de ser normal son ejemplos de propiedades no hereditarias. Los subespacios abiertos heredan la separabilidad y los subespacios cerrados heredan la propiedad de ser de Lindelöf.

Véase tambiénEditar

BibliografíaEditar

  • Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
  • Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

ReferenciasEditar

  1. Llopis, José L. «Topología inducida (subespacio)». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 8 de octubre de 2019. 
  2. Llopis, José L. «Propiedades topológicas hereditarias». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 10 de octubre de 2019. 

Enlaces externosEditar