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El teorema de Picard-Lindelöf (muchas veces llamado simplemente teorema de Picard, otras teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad) es un resultado matemático de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Establece bajo qué condiciones puede asegurarse la existencia y unicidad de solución de una EDO dado un problema de Cauchy (problema de valor inicial).

Historia

El estudio y desarrollo del Teorema de Picard-Lindelöf se realizó entre los años 1820 y 1900 y se llevó a cabo por Cauchy, Liouville, Lipschitz, Picard y Lindelöf:

• Entre 1820 y 1830, Cauchy probó que dada una función continua $f$ tal que existe la derivada parcial ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ y además es continua en cierta región $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ relacionada con el punto $(t_{0},x_{0})$, entonces existe un intervalo $I\ni t_{0}$ tal que el problema de valores iniciales

${\begin{cases}x'=f(t,x)\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

posee una única solución definida en $I$.

• En 1838, Liouville simplificó la prueba de Cauchy introduciendo el método de aproximaciones sucesivas, que más tarde se conocerían como iterantes de Picard.
• En 1876, Lipschitz mejoró el resultado de Cauchy, sustituyendo la condición sobre ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ por una menos fuerte, conocida como condición de Lipschitz.
• Posteriormente, siguiendo las mismas ideas dadas por Liouville y Lipschitz, todo lo anterior fue ligeramente mejorado y generalizado por Picard (1890) y Lindelöf (1893). Es por ello, que el teorema debe su nombre al matemático francés Picard y al topólogo finés quien enuncío la teoría de Picard tras su muerte

Teorema

Enunciado general

Sea $f:\Omega \subseteq (\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n})\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$, donde $\Omega$ es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de ${\mathit {x}}$ (interprétese $f(t,x)$ como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado $(t_{0},x_{0})\in \Omega$, podemos encontrar un intervalo cerrado $I_{\alpha }=[t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]\subset \mathbb {R} ,\alpha >0$ donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy: ${\begin{cases}x'=f(t,x)\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$ que cumple que los pares $(t,x(t))\in \Omega ,\forall t\in I_{\alpha }.$

De hecho, el parámetro $\alpha$ puede ser encontrado de manera explícita, en la demostración se dan detalles de ello.

Demostración

Sea $C_{a,b}={\overline {I_{a}(t_{0})}}\times {\overline {B_{b}(x_{0})}}$ un cilindro compacto contenido en $\Omega$ donde ${\overline {I_{a}(t_{0})}}=[t_{0}-a,t_{0}+a]$ y ${\overline {B_{b}(x_{0})}}={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-x_{0}|\leq b{\big \}}$. Sea $M=\displaystyle \sup _{C_{a,b}}\|f\|$, és decir, el valor de máxima pendiente en módulo. Y finalmente sea $L$ la constante de Lipschtitz de $f$ respecto la segunda variable en $C_{a,b}$ (nótese que dicha constante depende de $(t_{0},x_{0})$). Definimos el siguiente operador entre funciones continuas, el operador de Picard, como sigue: $\Gamma :{\mathcal {C}}(I_{\alpha }(t_{0}),B_{b}(x_{0}))\longrightarrow {\mathcal {C}}(I_{\alpha }(t_{0}),B_{b}(x_{0}))$ definido como: $\Gamma \varphi (t)=x_{0}+\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))ds$. Nótese que ${C}(I_{\alpha }(t_{0}),B_{b}(x_{0}))$ es un conjunto cerrado contenido en un espacio de Banach.Para concluir tenemos que elegir $\alpha$ de forma que el operador esté bien definido y que sea contractivo: Vamos a imponer que esté bien definido, es decir, que su imagen sea una función que tome valores en $B_{b}(x_{0})$, es decir, que la norma de $\Gamma \varphi (t)-x_{0}$ sea menor que $b$. $\|\Gamma \varphi (t)-x_{0}\|=\left\|\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))ds\right\|\leq \left|\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\|f(s,\varphi (s))\|ds\right|\leq M|t-t_{0}|\leq M\alpha \leq b$ El último paso se cumple si elegimos $\alpha$ tal que $\alpha <b/M$. Veamos ahora que el operador de Picard es contractivo bajo ciertas hipótesis sobre $\alpha$ que más adelante podrán ser omitidas. Dadas dos funciones $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{\alpha }(t_{0}),B_{b}(x_{0}))$ se tiene $\|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\|=\left\|\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}(f(s,\varphi _{1}(s))-f(s,\varphi _{2}(s)))ds\right\|\leq \left|\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\|f(s,\varphi _{1}(s))-f(s,\varphi _{2}(s))\|ds\right|$. Como $f$ es Lipschitz respecto la segunda variable tenemos que: $L\left|\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\|\varphi _{1}(s)-\varphi _{2}(s)\|ds\right|\leq L\alpha \|\varphi _{1}-\varphi _{2}\|$, por lo que $\Gamma$ es contractivo si $\alpha <1/L$. Por lo tanto como el operador de Picard es un operador entre espacios de Banach (en particular espacios métricos inducidos por la norma) y contractivo, por el teorema del punto fijo de Banach, existe una única función $\varphi \in {\mathcal {C}}(I_{\alpha }(t_{0}),B_{b}(x_{0}))$ tal que $\Gamma \varphi =\varphi$ es decir, solución del problema de valor inicial definida en $I{\alpha }$ donde $\alpha$ debe satisfacer las condiciones dadas, es decir, $\alpha =\min\{a,b/M,1/(L)\}$.

Enunciado con más restricciones

El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos aplicar el teorema. Añadiendo más condiciones al enunciado original, podemos dar este otro más sencillo: "Sea $f:[a,b]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ una función Lipschitz. Entonces, dados $(t_{0},x_{0})\in [a,b]\times \mathbb {R} ^{n}$" existe una única solución $x(t)$ del problema de valor inicial

${\begin{cases}x'=f(t,x)\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

definida $\forall t\in [a,b]$".

Observación

Es importante observar que el teorema de Picard sólo nos garantiza la existencia y unicidad local de la solución de una EDO. Es decir, más allá del intervalo proporcionado por el teorema (dado que su demostración es constructiva) no podemos decir nada, en principio, del comportamiento de la solución del problema de valor inicial. Es posible complementar el teorema señalando que existe un intervalo abierto, que llamaremos intervalo maximal en el cual puede garantizarse que la solución existe y es única; fuera de este intervalo, el teorema de Picard no puede aplicarse.

Optimización del intervalo de la solución

Ahora bien, hay un corolario del teorema del punto fijo de Banach que nos dice que si un operador $T^{n}$ es contractivo para alguna potencia $n\in \mathbb {N}$ entonces $T$ tiene un único punto fijo. Intentaremos aplicar este resultado al operador de Picard. Pero antes veamos un pequeño lema que nos será muy útil para aplicar el anterior corolario.

Lema $\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\|\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\|$

Demostración

Lo demostraremos por inducción: Para $m=1$ ya lo hemos visto, suponemos cierto para $m-1$ y probemos para $m$: $\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\|=\|\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{1}-\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{2}\|\leq \left|\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\|f(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s))-f(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s))\|ds\right|\leq L\left|\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\|\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)-\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\|ds\right|\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\|$. Por lo tanto ahora sí, teniendo esta desigualdad podemos asegurar que para $m$ suficientemente grande, la cantidad ${\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}<1$ y por lo tanto $\Gamma ^{m}$ será contractivo y por el corolario anterior $\Gamma$ tendrá un único punto fijo. Por lo que, finalmente, hemos podido optimizar el intervalo a tomar $\alpha =\min\{a,b/M\}$. Esto lo que nos dice es que el intervalo de definición de la solución no depende de la constante de Lipschitz del campo, sino esencialmente en el intervalo de definición del campo y la máxima pendiente del mismo.

Ejemplos y Contraejemplos

Ejemplo

Dado $(t_{0},x_{0})\in \mathbb {R} ^{2}$, consideramos el problema:

${\begin{cases}x'=(t^{2}-1)x^{3}\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

.

Para estudiar la existencia y unicidad de solución, definimos $C_{a,b}=[t_{0}-a,t_{0}+a]\times [x_{0}-b,x_{0}+b]$ para ciertos valores $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ tales que $a>0$ y $b>0$, y basta con ver que $f(t,x)=(t^{2}-1)x^{3}$ es Lipschitz respecto de su segunda variable en $C_{a,b}$. Para ello tomamos dos puntos cualesquiera $(t,x)$, $(t,y)\in C_{a,b}$ y, usando el Teorema del valor medio obtenemos

$|f(t,x)-f(t,y)|\leq |t^{2}-1||x^{3}-y^{3}|\leq |(t_{0}+a)^{2}-1||3\varepsilon ^{2}||x-y|$ para cierto $\ \varepsilon \in (1-b,1+b)$.

Acotando $3\varepsilon \leq 3(1+b)^{2}$ vemos que f es Lipschitz en $C_{a,b}$ y por el Teorema de Picard-Lindelöf, existe una única solución local para el problema

${\begin{cases}x'=(t^{2}-1)x^{3}\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

.

Véase también

• Ecuación diferencial ordinaria
• Función continua
• Función lipschitziana
• Problema de Cauchy
• Teorema de existencia de Carathéodory
• Teorema de existencia de Peano

Referencias

Bibliografía

• Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations (en inglés), New York: McGraw-Hill ..
• E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, pp. 454–457. Digitized version en línea via http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (In that article Lindelöf discusses a generalization of an earlier approach by Picard.)
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (en inglés). Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. 

Enlaces externos

• Cauchy-Lipschitz theorem en Encyclopaedia of Mathematics. (en inglés)
• Fixed Points and the Picard Algorithm (en inglés)
• Picard Iteration (en inglés)
• Demostración del teorema de Picard–Lindelöf (en inglés)
• Ejemplo del uso del Teorema de Picard

Picard Categoría:Ecuaciones diferenciales ordinarias Picard-Lindelöf Categoría:Augustin Louis Cauchy