Usuario:Marko alcalde/Taller

Definición

La ecuación diferencial ordinaria (EDO) $F(y^{(n)},...,y',y)=0$ se dice que es lineal cuando $F$ es lineal en las variables $y^{(k)}$ o, equivalentemente, cuando la ecuación puede expresarse como

(1)$\,y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y=f(t)$.

La ecuación tiene orden $n$ si la derivada más alta que aparece es la enésima.

Si las funciones $a_{k}$ son constantes, decimos que la ecuación es una EDO lineal a coeficientes constantes.

Estructura del espacio de soluciones

Si $f(t)$ es idénticamente nula la ecuación se denomina homogénea. La solución general de la ecuación homogénea viene dada por todas las combinaciones lineales de tantas soluciones linealmente independientes como el orden de dicha ecuación; es decir, que sus soluciones forman un espacio vectorial de dimensión $n$. Para comprobar la independencia lineal de un conjunto de $n$ soluciones de (1) podemos calcular su wronskiano. Si el wronskiano no se anula en el intervalo de definición de las soluciones, estas son linealmente independientes.

Si $f(t)\neq 0$ la ecuación se denomina no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea viene dada por

$\,y(t)=y_{p}(t)+y_{g}(t)$,

donde $y_{g}(t)$ es la solución general de la ecuación homogénea asociada e $y_{p}(t)$ es una solución particular a la ecuación no homogénea. Es decir, que sus soluciones forman un espacio afín de dimensión $n$.

En el caso de la solución particular, existen varios métodos para encontrala, entre ellos, el método de variación de los parámetros.

Si fijamos ciertas condiciones iniciales, tenemos garantizada la existencia y unicidad de solución local de (1) por el Teorema de Picard-Lindelöf siempre que las funciones $a_{k}$ y $f(t)$ sean continuas y acotadas en un entorno de los valores iniciales. Si, además, tenemos que $a_{k}$ y $f$ son continuas y acotadas en todo el espacio, tendriamos garantizada la existencia y unicidad global de las soluciones en todo el espacio.

EDO lineales homogéneas a coeficientes constantes

En esta sección se exponen dos métodos equivalentes de hallar las soluciones de una EDO lineal homogénea de orden $(n)$ de la forma

(2)$\,y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=0$.

Transformación a un sistema de EDOs de orden 1

Con el cambio de variable $\,x_{i}(t)=y^{(i-1)}$ podemos reescribir (2) como

(3)${\vec {x}}(t)'=A{\vec {x}}(t)$,

donde

$A={\begin{pmatrix}0&1&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &1\\a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\end{pmatrix}}$ y $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Dada una solución de (3), tomando la primera coordenada obtendremos una solución de (2), luego basta con resolver (3) para resolver (2).

La solución general de (3) viene dada por:

$e^{At}{\vec {c}}$

donde $e^{At}$ denota la exponencial de la matriz At y ${\vec {c}}$ es un vector de constantes arbitrarias.

Estudio de la ecuación característica

Dada la ecuación (2), definimos el polinomio p(λ) de orden n como

(4)$p(\lambda ):=\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{0}$.

De esta manera, cada raíz λ$_{j}$ con multiplicidad $k\geq 1$ del polinomio p(λ), tendrá asociada un conjunto de soluciones.

Caso I - Raíz real con multiplicidad k≥1

Sea λ raíz del polinomio (4) con multiplicidad $k\geq 1$. Entonces

{$t^{j-1}e^{\lambda t}$}$_{j=1,\dots ,k}$

es un conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial (2).

Caso II - Raíces complejas conjugadas con multiplicidad k≥1

Sean $\lambda$±$=a$±$bi$ raíces conjugadas del polinomio (4) con multiplicidad $k\geq 1$. Entonces

{$t^{j-1}e^{at}cos(bt),t^{j-1}e^{at}sen(bt)$}$_{j=1,\dots ,k}$

es un conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial (2).

Referencias

Bibliografía

• «Ordinary Differential Equations». Handbook of Differential Equations: Ordinary Differential Equations. 2008. ISSN 1874-5725. doi:10.1016/s1874-5725(08)x8001-0. Consultado el 8 de mayo de 2022. 

• «Équations Différentielles Ordinaires, Vincent Millot». 

Enlaces externos

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Differential_Equations/Book%3A_Elementary_Differential_Equations_with_Boundary_Value_Problems_(Trench)