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No hay puntos distinguidos por definición

Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición de espacio afínEditar

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Nota: las parejas de elementos de  , esto es los elementos de   son llamados « bipuntos»[cita requerida]; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».

Dado un conjunto no vacío   diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial   si se tiene la siguiente aplicación:[1]

 
Visualización del orden de los puntos para   o como origen y destino de una traslación.

 

tal que se cumplan:

1) Fijado un punto a la aplicación   es biyectiva, es decir:
 
2) Se tiene la relación de Chasles, es decir:
 

Los elementos de   se llaman puntos.

Se designa al vector   por la notación  , así la propiedad 2 se escribe como:

 

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

La aplicación   asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.

Propiedades elementalesEditar

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados   y   puntos cualesquiera en un espacio afín  .

Tenemos:

 

   .

  entonces como   es biyectiva, se tiene que  .

   .

 

   

  (regla del paralelogramo).

Directo a partir de  

  (relación de Chasles generalizada)
Inductivamente se aplica que  

TraslacionesEditar

Dado un espacio afín   sobre   mediante   y un vector  , una traslación de vector   en   es una aplicación dada por:

 

Observaciones:

Se puede escribir como   que está bien definida por ser   biyectiva.

PropiedadesEditar

Dados los vectores   se tiene:

 

   

   

  •  
  •  

 

 
  y por tanto única por ser   una aplicación.

ProposiciónEditar

Un espacio afín   sobre   queda univocamente determinado por el conjunto:[2]

  es aplicación  

si cumple:

a)  
b)  
Demostración
Sea   la aplicación dada por b):
  •  
  •   ya que:
 ,
  además
 
  •   es biyectiva, es decir,         por definición equivale a tomar   es única por ser   una aplicación.

Observación:

  es el conjunto de todas las traslaciones ya que  
Un espacio afín   se designa por la terna   o   según la primera o segunda definición respectivamente.

PropiedadesEditar

 
   
  es biyectiva y  

   

Si   entonces  

Es directo, aplicando el resultado sobre la hipótesis.

Si  
Por la propiedad b)  

Ejemplos:

Los espacios vectoriales   son espacios afines sobre sí mismos.[3]
Demostración
Como mera distinción se nota   como espacio vectorial y   para el mismo pero como espacio afín, se define una aplicación   como:

 

Esta aplicación cumple las dos condiciones:

1)   es biyectiva ya que  

2)      

Por tanto es un espacio afín.

Dados dos espacios afínes   y  , entonces también es un espacio afín la terna:[4]
  donde  

NotaciónEditar

Se usa como notación algebraica de  :[5]

  •  
  •  
  •  
Consistencia de la notación
En un espacio afín hay una correspondencia entre 3 conjuntos,  y  , más aún, dados dos elementos cualesquiera de 2 de los conjuntos respectivamente, se tiene que un tercer elemento del tercer conjunto queda determinado de forma única. Algebraicamente se distinguen cada uno de estos elementos:   como vector,   como punto extremo de   y   como punto origen de  , también:
  •   es consecuencia de que   es una aplicación, es decir,  
  •   es consecuencia de que   es biyectiva, es decir,  
  •   igual que antes,  

lo cual justifica la notación.

Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo   por vectores:

 

de uso puramente cuantitativo, se tiene que:[6]

  • Una expresión es un vector si hay tantos puntos de origen como de extremo, es decir:
    es un vectore si  
  • Una expresión es un punto si hay un punto de extremo de más, es decir:
    es un punto si  

No queda definido un sentido para el resto de casos.

  • Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.

Definición de subespacio afínEditar

Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.

Dado   un espacio afín sobre   mediante   y   un subespacio vectorial. Se espera que   sea un espacio afín sobre   con   por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:

2)     es heredado del espacio afín  
1)   es biyectiva, es decir:
 
de donde se deduce que   y   por tanto solo se ha de verificar que   para cualquier  , es decir,   ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.[7]

Dado un espacio afín   sobre  ,   y   un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por   y dirección   al conjunto   tal que:

       

Dados   diremos que pertenecen a un mismo espacio   de dirección   si  .

La relación anterior es una relación de equivalencia
Se considera la relación   y se comprueban:
Propiedad reflexiva:
Dado un elemento   se tiene que  
Propiedad de simetría:
Dados dos elementos   se tiene que si   entonces   es decir  
Propiedad transitiva:
Dados tres elementos   se tiene que si   y   entonces   es decir  

Aplicación entre espacios afinesEditar

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Es común denominar a   como espacio director, también se define como "espacio afín sobre  " denotado por la terna   en Máximo Anzola o "espacio afín sobre  " en M. Castellet
  2. En M. Castellet se puede encontrar como proposición 2.2 pg 187
  3. En Marcel Berger se puede encontrar otra presentación de este ejemplo 2.2.1 pg 34
  4. En Marcel Berger se puede encontrar como ejemplo 2.2.2 pg 34
  5. En M. Castellet se puede encontrar como parte de la definición de variedad lineal tema IX.3 pg 187 y tema IX.8 pg 202.
  6. En M. Castellet se puede encontrar en el tema IX.6 pg 194.
  7. En M. Castellet se puede encontrar su equivalente en el tema IX.3 pg 189.

BibliografíaEditar

  • Antonio Pardo Fraile, Juan-Angel Díaz Hernando, Elementos de álgebra lineal y geometría(tomo II), Madrid, 1966.
  • Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.
  • Máximo Anzola, José Caruncho, Geometría afín y euclídea, Pedidos a los Autores,1981.
  • J.M. Aroca Hernández-Ros, Problemas de geometría afín y geometría métrica, uva, 2004.