Espacio afín

estructura geométrica que generaliza el espacio euclídeo

En matemáticas, particularmente en geometría, un espacio afín es una estructura que surge al olvidar el punto distinguido (origen) de un espacio vectorial.

No hay puntos distinguidos por definición

Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la geometría euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo, propias de la geometría de Euclides.[cita requerida] El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición de espacio afín

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El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Dado un conjunto no vacío   diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial   si se tiene la siguiente aplicación:[a]

 
 
Visualización del orden de los puntos para   o como origen y destino de una traslación.

 

tal que se cumplan:

1) Fijado un punto a la aplicación   es biyectiva, es decir:
 
 
2) Se tiene la relación de Chasles, es decir:
 
 

Los elementos de   se llaman puntos.[b]

Se designa al vector   por la notación  , así la propiedad 2 se escribe como:

 

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

La aplicación   asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.

Coordenadas

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Hay dos tipos de sistema de coordenadas fuertemente relacionados que pueden definirse en espacios afines.

Coordenadas baricéntricas

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Sea A un espacio afín de dimensión n sobre un cuerpo k, y   sea una base afín de A. Las propiedades de una base afín implican que para cada x en A existe una (n + 1)-tupla   única de k elementos tal que

 

y

 

Las   se denominan coordenadas baricéntricas de x sobre la base afín  . Si los xi se consideran cuerpos que tienen pesos (o masas)  , el punto x es, por tanto, el baricentro de los xi, y esto explica el origen del término "coordenadas baricéntricas".

Las coordenadas baricéntricas definen un isomorfismo afín entre el espacio afín A y el subespacio afín de kn + 1 definido por la ecuación  .

Para espacios afines de dimensión infinita, se aplica la misma definición, utilizando solo sumas finitas. Esto significa que para cada punto, solo un número finito de coordenadas son distintas de cero.

Coordenadas afines

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Un marco afín de un espacio afín consta de un punto, llamado origen, y de una base del espacio vectorial asociado. Más precisamente, para un espacio afín A con un espacio vectorial asociado  , el origen o pertenece a A, y la base lineal es una base (v1, ..., vn) de   (para simplificar la notación, se considera solo el caso de dimensión finita, considerando que el caso general es similar).

Para cada punto p de A, existe una secuencia única   de elementos del cuerpo base tal que

 

o equivalentemente

 

Las   se denominan coordenadas afines de p sobre el marco afín (o, v1, ..., vn).

Ejemplo: En geometría euclídea, las coordenadas cartesianas son coordenadas afines relativas a un marco ortonormal, es decir, un marco afín (o, v1, ..., vn) tal que (v1, ..., vn) es una base ortonormal.

Relación entre coordenadas baricéntricas y afines

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Las coordenadas baricéntricas y las coordenadas afines están fuertemente relacionadas y pueden considerarse equivalentes.

De hecho, dado un marco baricéntrico

 

se deduce inmediatamente el marco afín

 

y si

 

son las coordenadas baricéntricas de un punto sobre el marco baricéntrico, entonces las coordenadas afines del mismo punto sobre el marco afín son

 

Por el contrario, si

 

es un marco afín, entonces

 

es un marco baricéntrico. Si

 

son las coordenadas afines de un punto sobre el marco afín, entonces sus coordenadas baricéntricas sobre el marco baricéntrico son

 

Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas y afines son casi equivalentes. En la mayoría de las aplicaciones, se prefieren las coordenadas afines, ya que involucran menos coordenadas que sean independientes. Sin embargo, en situaciones donde los puntos importantes del problema estudiado son afínmente independientes, las coordenadas baricéntricas pueden conducir a un cálculo más simple, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo del triángulo

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Los vértices de un triángulo no plano forman una base afín del plano. Las coordenadas baricéntricas permiten una fácil caracterización de los elementos del triángulo que no involucran ángulos ni distancias:

Los vértices son los puntos de coordenadas baricéntricas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Las rectas que contienen las aristas son los puntos que tienen una coordenada cero. Las aristas mismas son los puntos que tienen una coordenada cero y dos coordenadas no negativas. El interior del triángulo son los puntos cuyas coordenadas son todas positivas. Las medianas son los segmentos cuyos puntos tienen dos coordenadas iguales, y el centroide es el punto de coordenadas (1/3, 1/3, 1/3).

Cambio de coordenadas

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Caso de coordenadas baricéntricas

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Las coordenadas baricéntricas se cambian fácilmente de una base a otra. Sean   y   bases afines de A. Por cada x en A hay alguna tupla   para la cual

 

De manera similar, para cada   de la primera base, ahora se tiene en la segunda base

 

para alguna tupla  . En consecuencia, se puede reescribir la expresión dada en la primera base como una dada en la segunda haciendo que

 

obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla   .

Caso de coordenadas afines

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Las coordenadas afines también se cambian fácilmente de una base a otra. Sean  ,   y  ,   marcos afines de A. Para cada punto p de A, existe una secuencia única   de elementos del cuerpo base tal que

 

y de manera similar, por cada   de la primera base, ahora se tiene en la segunda base que

 
 

para la tupla   y la tupla  . Ahora, se puede reescribir la expresión en la primera base referida a la segunda como

 

obteniéndose las coordenadas en la segunda base como la tupla   .


Propiedades elementales

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De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados   y   puntos cualesquiera en un espacio afín  .

Tenemos:

 
 

   .

  entonces como   es biyectiva, se tiene que  .

   .

 
 

   

  (regla del paralelogramo).
 

Directo a partir de  

  (relación de Chasles generalizada)
Inductivamente se aplica que  

Traslaciones

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Dado un espacio afín   sobre   mediante   y un vector  , una traslación de vector   en   es una aplicación dada por:

 

Observaciones:

Se puede escribir como   que está bien definida por ser   biyectiva.

Propiedades

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Dados los vectores   se tiene:

 
 

   

   

  •  
  •  

 

 
  y por tanto única por ser   una aplicación.

Proposición

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Un espacio afín   sobre   queda univocamente determinado por el conjunto:[1]

  es aplicación  

si cumple:

a)  
b)  
Demostración
Sea   la aplicación dada por b):
  •  
  •   ya que:
 ,
  además
 
  •   es biyectiva, es decir,         por definición equivale a tomar   es única por ser   una aplicación.

Observación:

  es el conjunto de todas las traslaciones ya que  
Un espacio afín   se designa por la terna   o   según la primera o segunda definición respectivamente.

Propiedades

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  es biyectiva y  
 

   

Si   entonces  
 

Es directo, aplicando el resultado sobre la hipótesis.

Si  
Por la propiedad b)  

Ejemplos:

Los espacios vectoriales   son espacios afines sobre sí mismos.[2]
Como mera distinción se nota   como espacio vectorial y   para el mismo pero como espacio afín, se define una aplicación   como:

 

Esta aplicación cumple las dos condiciones:

1)   es biyectiva ya que  

2)      

Por tanto es un espacio afín  .

Observaciones
 
 
 
Traslación de vector   en el punto   Traslación de vector   y   Traslación de un vector   a  
Dados dos espacios afínes   y  , entonces también es un espacio afín la terna:[3]
  donde  

Notación

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Se usa como notación algebraica de  :[4]

  •  
  •  
  •  
Consistencia de la notación
En un espacio afín hay una correspondencia entre 3 conjuntos,  y  , más aún, dados dos elementos cualesquiera de 2 de los conjuntos respectivamente, se tiene que un tercer elemento del tercer conjunto queda determinado de forma única. Algebraicamente se distinguen cada uno de estos elementos:   como vector,   como punto extremo de   y   como punto origen de  , también:
  •   es consecuencia de que   es una aplicación, es decir,  
  •   es consecuencia de que   es biyectiva, es decir,  
  •   igual que antes,  

lo cual justifica la notación.

Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo   por vectores:

 

de uso puramente cuantitativo, se tiene que:[5]

  • Una expresión es un vector si hay tantos puntos de origen como de extremo, es decir:
    es un vectore si  
  • Una expresión es un punto si hay un punto de extremo de más, es decir:
    es un punto si  

No queda definido un sentido para el resto de casos.

  • Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.

Definición de subespacio afín

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Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.

Dado   un espacio afín sobre   mediante   y   un subespacio vectorial. Se espera que   sea un espacio afín sobre   con   por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:

2)     es heredado del espacio afín  
1)   es biyectiva, es decir:
 
de donde se deduce que   y   por tanto solo se ha de verificar que   para cualquier  , es decir,   ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.[6]

Dado un espacio afín   sobre  ,   y   un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por   y dirección   al conjunto   tal que:

       

Dados   diremos que pertenecen a un mismo espacio   de dirección   si  .

La relación anterior es una relación de equivalencia
Se considera la relación   y se comprueban:
Propiedad reflexiva:
Dado un elemento   se tiene que  
Propiedad de simetría:
Dados dos elementos   se tiene que si   entonces   es decir  
Propiedad transitiva:
Dados tres elementos   se tiene que si   y   entonces   es decir  

Aplicación entre espacios afines

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Véase también

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Notas al pie

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  1. Es común denominar a   como espacio director, también se define como "espacio afín sobre  " denotado por la terna   en Máximo Anzola o "espacio afín sobre  " en M. Castellet
  2. Las parejas de elementos de  , esto es, los elementos de   son llamados «bipuntos»[cita requerida]; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de «origen» y el segundo el de «extremo del bipunto».

Referencias

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  1. En M. Castellet se puede encontrar como proposición 2.2 pg 187
  2. En Marcel Berger se puede encontrar otra presentación de este ejemplo 2.2.1 pg 34
  3. En Marcel Berger se puede encontrar como ejemplo 2.2.2 pg 34
  4. En M. Castellet se puede encontrar como parte de la definición de variedad lineal tema IX.3 pg 187 y tema IX.8 pg 202.
  5. En M. Castellet se puede encontrar en el tema IX.6 pg 194.
  6. En M. Castellet se puede encontrar su equivalente en el tema IX.3 pg 189.

Bibliografía

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  • Antonio Pardo Fraile, Juan-Angel Díaz Hernando, Elementos de álgebra lineal y geometría(tomo II), Madrid, 1966.
  • Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.
  • Máximo Anzola, José Caruncho, Geometría afín y euclídea, Pedidos a los Autores,1981.
  • J.M. Aroca Hernández-Ros, Problemas de geometría afín y geometría métrica, uva, 2004.