Subconjunto

Diagrama de Euler que muestra que B es un subconjunto de A al mismo tiempo que A es un superconjunto de B

En matemáticas, el conjunto A es un subconjunto del conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B; B es entonces un superconjunto de A. Es posible que A y B sean iguales; Si son diferentes, entonces A es un conjunto propio de B. La relación de un conjunto como subconjunto de otro es llamada inclusión. A es un subconjunto de B , también puede ser expresado como B incluye (o contiene) a A o A está incluido (o contenido) en B.

La relación de los subconjuntos define un orden parcial de los conjuntos. De hecho, los subconjuntos de un conjunto dado forman un álgebra Booleana bajo la relación de los subconjuntos, en la que la unión y el encuentro están dados por la intersección y la unión, y la relación de subconjunto en sí misma es la relación de inclusión Booleana.

Definiciones

Si A y B son conjuntos y todo elemento de A es también elemento de B, entonces:

A es un subconjunto de B, denotado por $A\subseteq B$ o equivalentemente
B es un superconjunto de A, denotado por $B\supseteq A$

Si A es un subconjunto de B, pero A no es igual a B (es decir, existe al menos un elemento de B que no es un elemento de A), entonces:

A es un subconjunto propio (o estricto) de B, denotado por $A\varsubsetneq B$ . O de manera equivalente
B es un superconjunto propio (o estricto) de A, denotado por $B\varsupsetneq A$

El conjunto vacío, escrito $\{\}$ o $\emptyset$ es un subconjunto de cualquier conjunto $X$ y un subconjunto propio de cualquier conjunto excepto él mismo. Para cualquier conjunto S, la relación inclusión $\subseteq$ es un orden parcial en el conjunto $P(S)$ (el conjunto potencia de $S$ —el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ ) definido por $A\leq B\Longleftrightarrow A\subseteq B$ . También podemos ordenar parcialmente $P(S)$ por inclusión de conjunto inverso definiendo $A\leq B\ si\ y\ solo\ si\ A\subseteq B$

Cuando se cuantifica $A\subseteq B$ se representa como $\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)$ .^[1]

Podemos probar la afirmación $A\subseteq B$ aplicando una técnica de prueba conocida como el argumento del elemento.

Sean dados los conjuntos $A$ y $B$ . para demostrar que $A\subseteq B$ ,

Suponga que $a$ es un elemento particular pero elegido arbitrariamente de $A$ ,
Demuestra que $a$ es un elemento de $B$ .

La validez de esta técnica puede verse como una consecuencia de la generalización universal: la técnica muestra $c\in A\Rightarrow c\in B$ para un elemento elegido arbitrariamente $c$ . La generalización universal implica entonces Vc(c in A-> c in B) $\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)$ que es equivalente a $A\subseteq B$ como se indico anteriormente.

Propiedades

El Un conjunto $A$ es un subconjunto de $B$ si y solo si su intercepción es igual a $A$ .

$A\subseteq B$ si y solo si $A\cap B=A$

Un conjunto $A$ es un subconjunto de $B$ si y solo si su unión es igual a $B$ .

$A\subseteq B$ si y solo si $A\cap B=B$

Un conjunto infinito $A$ es un subconjunto de $B$ , si y solo si la cardinalidad de su intersección es igual a la cardinalidad de $A$ .

$A\subseteq B$ si y solo si $\mid A\cap B\mid =\mid A\mid$

Símbolos ⊂ y ⊃

Algunos autores usan los símbolos ⊂ y ⊃ para indicar el subconjunto y el superconjunto respectivamente; es decir, con el mismo significado y en lugar de los símbolos ${\displaystyle \subseteq }$ y ${\displaystyle \supseteq }$ . Por ejemplo, para algunos autores es correcto que en todos los casos $A\ {\subset }\ A$ .

Por otro lado, otros autores prefieren usar los símbolos $\subset$ y $\supset$ para indicar un subconjunto propio y un superconjunto propio respectivamente en lugar de los símbolos $\subsetneq$ y $\supsetneq$ . Este uso hace a $\subseteq$ y $\subset$ análogos a la diferencia entre $\leq$ y $<$ . Por ejemplo si decimos que $x\ \leq \ y$ , entonces es posible que x sea igual o no a y, por otro lado si $x\ <\ y$ , entonces x definitivamente no puede ser igual a y; En este mismo sentido, si utilizamos la convención en la que $\subset$ es un subconjunto propio, entonces si $A\subseteq B$ , A puede ser igual a B, pero si $A\subset B$ , entonces A no puede ser igual a B.

Otras propiedades de la inclusión

La inclusión es el orden parcial canónico, en el sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado $(X,\preceq )$ es isomorfo a alguna colección de conjuntos ordenados por inclusión. Los números ordinales son un ejemplo simple: Si cada ordinal $n$ se identifica con el conjunto $[n]$ de todos los ordinales menores o iguales que $n$ , entonces $a\leq b\ si\ y\ solo\ si\ [a]\subseteq [b]$ .^[2]

Para el conjunto potencia $P(S)$ de un conjunto $S$ , el orden parcial de la inclusión es -salvo un isomorfismo de orden- el producto cartesiano de $k=[S]$ (la cardinalidad de $S$ ) copias del orden parcial en $\{0,1\}$ para el cual $0<1$ . Esto se puede ilustrar enumerando $S=\{s_{1},s_{2},...,s_{k}\}$ y asociando con cada subconjunto $T\subseteq S$ (es decir, cada elemento de $2^{S}$ ) la k-tupla de $\{0,1\}^{k}$ cuya i-ésima coordenada es 1 si y solo si $s_{k}$ es miembro de $T$ .

Ejemplos de subconjuntos

El conjunto $A=\{1,2\}$ es un subconjunto propio de $B=\{1,2,3\}$ , así las dos expresiones $A\subseteq B$ y $A\nsubseteq B$ son verdaderas.
El conjunto $D=\{1,2,3\}$ es un subconjunto (pero no un subconjunto propio) de $E=\{1,2,3\}$ asi $D\subseteq E$ es verdadera y $D\nsubseteq E$ es falso.
Cualquier conjunto es un subconjunto de si mismo, pero no un subconjunto propio $(X\subseteq X$ es verdad, y $X\nsubseteq X$ es falso pata todo conjunto $X)$ .
El conjunto $(X:X$ es un número primo mayor que $10)$ es un subconjunto propio de $(X:X$ es un número impar mayor que $10)$ .
El conjunto de los números naturales es un subconjunto propio de el conjunto de los números racionales, asimismo, el conjunto de puntos en un segmento de linea es un subconjunto propio de el conjunto de una linea. Estos son dos ejemplos en el cual ambos subconjuntos y el conjunto de los enteros son infinitos, y el subconjunto tiene así misma cardinalidad (el concepto que corresponde al tamaño, que es, el número de elementos, de un conjunto finito) como los enteros; tanto el caso puede correr a oponerse a la intuición inicial.
El conjunto de los números racionales es un subconjunto propio de el conjunto de los números reales. En el ejemplo, ambos conjuntos son infinitos, pero el ultimo conjunto tiene una mayor cardinalidad ( o aumentó) que el anterior conjunto.