Función de Cantor

función matemática continua

En matemáticas, la función de Cantor, llamada así en honor de Georg Cantor, es un ejemplo de función matemática que es continua pero no absolutamente continua. También se la conoce como la escalera del Diablo.

La función de Cantor guarda una estrecha relación con el conjunto de Cantor.

DefiniciónEditar

La función de Cantor   se define como sigue:

  1. Expresa   en base 3.
  2. Si en   aparece algún 1, sustituye por 0 todos los dígitos estrictamente a la derecha del primer 1.
  3. Sustituye todos los dígitos 2 que quedan por 1.
  4. Interpreta el resultado como un número binario. El resultado es  .

Por ejemplo:

  • 1/4 se convierte en 0.02020202... base 3; no hay unos así que el siguiente paso es todavía 0.02020202...; esto se reescribe como 0.01010101...; leído en base 2, esto es 1/3 así que  .
  • 1/5 se convierte en 0.01210121... base 3; el primer uno se cambia a 2 seguido de ceros para producir 0.02000000...; esto se reescribe como 0.01000000...; leído en base 2, esto es 1/4 así que  .

Es mucho más fácil comprender la definición si miramos al gráfico siguiente:

PropiedadesEditar

  • La función de Cantor desafía la intuición más ingenua sobre la continuidad y la medida; aunque es continua en todos los puntos y tiene derivada cero en casi todo punto,   va de 0 a 1 a medida que   va de 0 a 1, y toma todos los valores intermedios. La función de Cantor es el ejemplo más comúnmente citado de una función real que es uniformemente continua (y por tanto también continua) pero no absolutamente continua. No tiene derivada en ningún punto del conjunto de Cantor; es constante en los intervalos de la forma:
 
y cualquier punto que no esté en el conjunto de Cantor está en uno de dichos intervalos, conque su derivada fuera del conjunto de Cantor es cero.

Definiciones alternativasEditar

Construcción iterativaEditar

A continuación se define una sucesión   de funciones sobre el intervalo unidad que converge a la función de Cantor.

Sea  . Entonces para cada entero  , la siguiente función   se definirá en términos de   como sigue:

 

En realidad los tres casos son compatibles en los extremos 1/3 y 2/3, porque   y   para todo  , por inducción. Se puede comprobar que   converge puntualmente a la función de Cantor definida anteriormente. Más aún, la convergencia es uniforme. En efecto, separando los tres casos, en consonancia con la definición de  , se puede ver que:

 

Si   denota la función límite, se sigue que, para todo  ,

 

Nótese también que la elección de la función inicial no importa realmente, siempre y cuando  ,   y   esté acotada.

Volumen fractalEditar

La función de Cantor está estrechamente relacionada con el conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor   puede definirse como el conjunto de los números del intervalo [0,1] que no contienen el 1 en su desarrollo en base tres. Resulta que el conjunto de Cantor es un fractal con infinitos (no numerable) puntos (volumen de dimensión cero), pero longitud cero (volumen de dimensión uno). Sólo el volumen D-dimensional   (en el sentido de la medida Hausdorff) toma un valor finito, donde:

 

es la dimensión fractal de  . Podemos definir la función de Cantor alternativamente como el volumen D-dimensional de las secciones del conjunto de Cantor

 

GeneralizacionesEditar

Sea

 

un desarrollo diádico del número   en términos de dígitos binarios  . Ahora consideremos la función

 

Para  , la inversa de la función   es la función de Cantor. Esto es,   es la función de Cantor. En general, para cualquier  ,   tiene un aspecto similar a la función de Cantor puesta de lado, con la anchura de los pasos aumentando a medida que   se aproxima a cero.

La función interrogación de Minkowski se parece visualmente a la función de Cantor, como si fuera una función de Cantor «suavizada», y puede construirse pasando de una expansión en fracciones continuas a una expansión binaria, de la misma forma que la función de Cantor puede construirse pasando de una expansión ternaria a una expansión binaria. La función interrogación posee la interesante propiedad de tener derivadas que se anulan en todos los números racionales.

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