Conjunto denso

Sea $(X,{\mathcal {T}})$ un espacio topológico, $A\subset X$ se dice que es un conjunto denso en $X\;$ si y solamente si ${\bar {A}}=X\;$, es decir, la clausura topológica del conjunto es todo el espacio.

Se cumple que las siguientes proposiciones para $A$ son todas equivalentes:

1. $A$ es denso en $X$
2. $A\subset B,B$ cerrado $\Rightarrow B=X$
3. $\forall V\in {\mathcal {T}},A\cap V=\varnothing \Rightarrow V=\varnothing$

Índice

Otras proposiciones

• Si dos aplicaciones continuas de X en Y, siendo Y un espacio de Hausdorff, coinciden en un conjunto denso; entonces coinciden en todo el espacio X.

• D₁ y D₂ son subconjuntos densos en X, no necesariamente lo es su intersección:

$D_{1}=\mathbb {Q} \;\;y\;\;D_{2}=\mathbb {R} -\mathbb {Q}$

• Sean D₁ , D₂ subconjuntos densos de X , además D₁ o D₂ es abierto, entonces D₁∩D₂ es denso​

Ejemplos

• Todo espacio topológico es denso en sí mismo.
• $\mathbb {Q}$ e $\mathbb {I}$ son subconjuntos densos en $\mathbb {R}$.
• Los polinomios son densos en el conjunto $C[a,b]$ de las funciones continuas definidas en $[a,b]$, dotado de la topología asociada a la distancia $d_{\infty }(f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|$.

Espacio separable

Si $(X,{\mathcal {T}})$ contiene a un denso numerable se dice que es un espacio topológico separable. Ejemplos de espacios separables son $\mathbb {R} ^{n}$ y $C([0,1],\mathbb {R} )$ (el espacio de las funciones continuas que van de $[0,1]$ a $\mathbb {R}$).

Véase también

• Conjunto denso en ninguna parte
• Espacio separable