Función continua

función matemática con la propiedad de la continuidad
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En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función; aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa lo contrario, que pequeñas variaciones de la función implican que deben estar cercanos los puntos. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).

La continuidad de funciones es uno de los conceptos básicos del análisis matemático y de la topología general. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Índice

Funciones reales de una variable realEditar

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.

El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.

El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)

El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un puntoEditar

Definición de continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto x0 en el dominio de la función

si:

 

tal que para toda x en el dominio de la función:

 

Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera:
Si x0 es punto del dominio de la función que es punto de acumulación del mismo, entonces f es continua en x0 si y sólo si  . Cuando x0 es un punto del dominio que no es de acumulación del mismo, es decir, es punto aislado del dominio, se cumple trivialmente la definición, luego toda función es continua en los puntos aislados de su dominio. Por ejemplo, las sucesiones de números reales son un caso de función real de variable real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Como todos los puntos del dominio de una sucesión son puntos aislados del mismo, se concluye que toda sucesión es una función continua. Por otro lado, no tiene sentido hablar de si una función es o no continua en un punto que no pertenezca al dominio de la misma. Por ejemplo, a función f(x)=1/x es continua en todos los puntos de su dominio. En cero, como no está en el dominio, no podemos hablar ni de continuidad ni de discontinuidad.

OBSERVACIÓN IMPORTANTE:
En el caso de aplicaciones de   en  , es corriente ver que se dice que una función   es continua en un punto x1 si existe f (x1), si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f (x1). Esto implicaría que, dada una función, si no está definida en un punto, ésta no es continua en él, llegando a una situación como la siguiente: La función   definida como   no es continua en 0 por que no está definida en dicho punto, pero tampoco es continua en 3, en 5, en 1000000 ni en -e, pero por el mismo motivo no sería continua en 1+2i o en (1,2,5). Esta definición, no satisfactoria, de continuidad está muy extendida, pero hay que recordar el requisito indispensable para poder hablar de continuidad de que el punto en el que se estudia la continuidad pertenezca al dominio. Si no está en el dominio, pero es punto de acumulación del mismo, podemos hablar de si puede o no extenderse con continuidad a dicho punto, pero no podemos decir que la función es discontinua en dicho punto (la función extendida sí podría ser discontinua, puesto que al incorporar dicho punto al dominio, tiene sentido plantearse el estudio de la continuidad en él).


Así pues, una función f continua en un punto de su dominio x1 que, además, es punto de acumulación del mismo, implica lo siguiente:

 

1. existe el límite por la derecha:

 

2. existe el límite por la izquierda:

 

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

 

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

 

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

 

6. Existe f(x1):

 

7. El límite y el valor de la función coinciden:

 

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

 

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que  .

Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateralEditar

Una función   es continua por la izquierda en el punto   si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

 

como en la figura.

Una función   es continua por la derecha en el punto   si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

 

Una función   es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

 

Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)Editar

Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

 

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

 

Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]Editar

Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

 

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

 

Algunas funciones continuas importantesEditar

 
Funciones seno y coseno.

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.

La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.

En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Funciones definidas por intervalosEditar

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.

  • Otras funciones definidas por intervalos son:
Función escalón unitario
Función signo

Función racionalEditar

Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

 

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el dominio   porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a f(0)) la función será discontinua.

Teoremas sobre funciones continuasEditar

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

  1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en   entonces presenta máximos y mínimos absolutos.
  2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en   y  , entonces   tal que  
  3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en   y   entonces   tal que  
  4. Acotación: Si f es una función sobre un conjunto compacto entonces, la función tiene un máximo o un mínimo (sobre un conjunto abierto se tiene el siguiente contraejemplo la función   es continua sobre   pero no es acotada).

Derivada y continuidadEditar

Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. De modo que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables es parte de las funciones continuas.

Demostración
: 
 
 
 
 

Es importante notar que lo recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo   pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1). Sobre esto consultar Calculus de Spivak.

Clase de continuidadEditar

Una función  , se dice que:

  • es de clase   cuando es continua en todo el dominio  .
  • es de clase   si está definida en todo el dominio   junto con sus derivadas hasta orden   y todas ellas son continuas.
  • es de clase   si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Observemos que funciones de este tipo no son nercesariamente analíticas.
  • Una función es de clase   si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase  .
  • Una función generalizada se dice de clase   si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones de una función de clase  .

Cualquier función polinómica de una variable es una función de clase  . La función generalizada denomiada delta de Dirac es una función de clase   ya que es la derivada segunda de la función rampa que es continua, y la derivada primera de la función escalón de Heaviside que es de clase  

Se puede dar ejemplos que muestran que hay funciones de clase   pero no lo son de clase  . Los ejemplos clásicos son  .

Funciones continuas en espacios topológicosEditar

Sean   e   dos espacios topológicos. Una aplicación   se dice que es continua si:

  es un abierto de  , cualquiera que sea el abierto   de  . Esta es la continudad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en un punto del dominio.

Esta definición se reduce a la definición ordinaria de continuidad de una función   si sobre   y   se considera la topología inducida por la distancia euclídea.

Con la misma notación anterior, si  , diremos que   es continua en   cuando se obtiene que   es un entorno de  , cualquiera que sea el entorno   de  .

Es "inmediato" entonces comprobar que   es continua si y solo si es continua en  , cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

Funciones continuas sobre los números ordinalesEditar

El término función continua en la parte de la teoría de conjuntos que se refiere a los números ordinales tiene un sentido diferente al referido a las funciones sobre espacios topológicos. Concretamente una función F definida sobre la clase de los números ordinales   es continua si para cada ordinal límite γ se cumple la siguiente propiedad:

 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

BibliografíaEditar

  • Serge Lang (1990): Introducción al análisis Matemático , Wilmington Delaware.
  • James R. Munkres (2002): Topología, Madrid.