Cuerpo valorado

estructura algebraica relacionada con el concepto de distancia

En matemáticas, un cuerpo valorado es un cuerpo K provisto de un valor absoluto .[1]​ Esto determina en K una estructura de espacio métrico definida por la distancia invariante , y K, provisto con la topología metrizable así definida, es un anillo topológico.

Por ejemplo, cualquier valoración con valores reales en K permite definir un valor absoluto en K (lo contrario solo es cierto para valores absolutos ultramétricos).[2]​ Por este motivo, algunos autores denominan cuerpo valorado a cualquier cuerpo con valoración.

La topología de un cuerpo valorado es discreta si y solo si el valor absoluto es trivial, es decir, derivado de una valoración trivial.[3]

El anillo completo de un cuerpo valorado es un cuerpo valorado.[1]

Demostración
Sea un cuerpo dotado de una distancia asociada a una valoración y el anillo completado. Por prolongación de identidades, es invariante ante traslaciones y la aplicación (que prolonga ) es una valoración de . La aplicación es -lipschitziana en para todos los . Por lo tanto, se extiende continuamente en una aplicación definida sobre .

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. a b N. Bourbaki (2007). Topologie générale: Chapitres 1 à 4. Springer Science & Business Media. p. 357. ISBN 9783540339823. Consultado el 2 de mayo de 2021.  (chap. IX, §3, p. 28-31).
  2. Jean-Pierre Serre (1995). Local Fields. Springer New York. p. 36 de 245. ISBN 9780387904245. Consultado el 2 de mayo de 2021. , que también menciona una caracterización de valores absolutos no ultramétricos.
  3. Nota: cualquier espacio vectorial a la izquierda en un campo de valor discreto es un espacio vectorial topológico para la topología discreta; este no es el caso de un espacio vectorial no nulo sobre un campo de valor no discreto.

Enlaces externosEditar