Distribución de Landau

En teoría de la probabilidad, la distribución de Landau​ es una distribución de probabilidad nombrada en honor a Lev Landáu. Debido a la cola "pesada" de la distribución, los momentos de la distribución, como la media o la varianza, no están definidos. Esta distribución es un caso particular de distribución estable.

Distribución de Landau
Función de densidad de probabilidad
Parámetros	$c\in (0,\infty )$ — parámetro de escala $\mu \in (-\infty ,\infty )$ — parámetro de locación
Dominio	$\mathbb {R}$
Función de densidad (pdf)	${\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt$
Media	Indefinida
Varianza	Indefinida
Función generadora de momentos (mgf)	Indefinida
Función característica	$\exp \left(it\mu -{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)$

Definición

La función de densidad de probabilidad, tal como fue escrita originalmente por Landau, está definida por la integral compleja:

$p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,$

donde a es un número real positivo arbitrario, lo que significa que la ruta de integración puede ser cualquier paralela al eje imaginario que se interseque con el semieje real positivo, y $\log$ se refiere al logaritmo natural.

La siguiente integral real es equivalente a la anterior:

$p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.$

La familia completa de distribuciones de Landau se obtiene al extender la distribución original a una familia de distribuciones estables con parámetros de estabilidad $\alpha =1$ y de asimetría $\beta =1$,​ con la función característica:​

$\varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right),$

donde $c\in (0,\infty )$ y $\mu \in (-\infty ,\infty )$, que produce una función de densidad:

$p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt.$

Observemos que la forma original de $p(x)$ se obtiene para $\mu =0$ y $c={\frac {\pi }{2}}$, mientras que la siguiente es una aproximación​ de $p(x;\mu ,c)$ para $\mu =0$ y $c=1$:

$p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).$

Distribuciones relacionadas

• Si $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,$ entonces $X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,$.
• La distribución de Landau es una distribución estable con parámetro de estabilidad $\alpha$ y parámetro de asimetría $\beta$ ambos iguales a 1.

Referencias

• Datos: Q3258337