Esfera de Riemann

	fig.1: Proyección estereográfica del plano complejo extendido sobre la "esfera de Riemann".
	fig.2: La "esfera de Riemann" puede ser visualizada como el plano complejo envuelto alrededor de una esfera.

En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como ${\hat {\mathbb {C} }}$ ó $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$,​ (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los números complejos ordinarios en conjunción con el símbolo $\infty \!$ para representar el infinito.

Los números complejos extendidos son comunes en análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, en el sentido de hacer expresiones bien definidas tales como:

$1/0=\infty$

Por ejemplo, cualquier función racional sobre el plano complejo puede ser extendida como una función continua sobre la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeados al infinito. Más generalmente, cualquier función meromorfa puede ser pensada como una función continua cuyo codominio es la esfera de Riemann.

En geometría, la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann, y una de las más simples variedades complejas. En geometría proyectiva, la esfera puede ser pensada como la recta proyectiva compleja $\mathbb {CP} ^{1}$, el espacio proyectivo de todos las rectas complejas en $\mathbb {C} ^{2}$. Como con cualquier superficie de Riemann compacta, la esfera también puede ser vista como una curva algebraica proyectiva, haciendo de esto un ejemplo fundamental de geometría algebraica. También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y de la geometría, como puede ser la mecánica cuántica y otras ramas de la física.

Números complejos extendidos

Los números complejos extendidos consisten de números complejos $\mathbf {C}$ junto con $\infty$. El conjunto de números complejos extendidos puede ser expresado como $\mathbf {C} \cup \{\infty \}$, y a menudo es indicado agregando algún símbolo a la letra $\mathbf {C}$, por ejemplo

${\widehat {\mathbf {C} }},\quad {\overline {\mathbf {C} }},\quad {\text{o}}\quad \mathbf {C} _{\infty }.$

También a veces se utiliza la notación $\mathbf {C} ^{*}$, pero como esta notación también se utiliza para el plano perforado $\mathbf {C} \setminus \{0\}$, el uso de la misma puede dar lugar a cierta ambigüedad.​

Desde un punto de vista geométrico, el conjunto de los números complejos extendidos es denominado la esfera de Riemann (o plano complejo extendido).

Operaciones aritméticas

La suma de números complejos puede extenderse si se define, para $z\in \mathbf {C}$,

$z+\infty =\infty$

para todo número complejor $z$, y la multiplicación se define como

$z\times \infty =\infty$

para todos los números complejos diostintos del cero $z$, con $\infty \times \infty =\infty$. Es de notar que $\infty -\infty$ y $0\times \infty$ quedan indeterminados. A diferencia de los números complejos, los números complejos extendidos no constituyen un campo, dado que $\infty$ no posee inversos aditivos o multiplicativos. Sin embargo, es costumbre definir la división en $\mathbf {C} \cup \{\infty \}$ como

${\frac {z}{0}}=\infty \quad {\text{and}}\quad {\frac {z}{\infty }}=0$

para todos los números complejos distintos del cero $z$ con $\infty /0=\infty$ y $0/\infty =0$. Los cocientes $0/0$ y $\infty /\infty$ quedan indefinidos.

Funciones racionales

Toda función racional $f(z)=g(z)/h(z)$ (en otras palabras, $f(z)$ es la relación de funciones polinómicas $g(z)$ y $h(z)$ de $z$ con coeficientes complejos, tales que $g(z)$ y $h(z)$ no poseen un factor común) pueden ser estendidas a una función continua en la esfera de Riemann. Específicamente, si $z_{0}$ es un número complejo tal que el denominador $h(z_{0})$ es cero pero el numerador $g(z_{0})$ no es cero, entonces se puede definir $f(z_{0})$ como $\infty$. Además, $f(\infty )$ puede ser definido como el límite de $f(z)$ cuando $z\to \infty$, el cual puede ser finito o infinito.

El conjunto de funciones racionales complejas cuyo símbolo matemático es $\mathbf {C} (z)$— constituyen todas las funciones holomorfas posibles de la esfera de Riemann en sí misma, cuando se la analiza como una superficie de Riemann, excepto para el caso de la función constante que toma el valor $\infty$ siempre. Las funciones de $\mathbf {C} (z)$ forman un campo algebraico, denominado el campo de las funciones racionales en la esfera.

Por ejemplo, dada la función

$f(z)={\frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}$

se puede definir $f(\pm 5)=\infty$, ya que el denominador vale cero en $\pm 5$, y $f(\infty )=3$ ya que $f(z)\to 3$ al tender $z\to \infty$. Utilizando estas definiciones, $f$ se convierte en una función continua de la esfera de Riemann en sí misma.

Como una variedad compleja

Como una variedad compleja unidimensional, la esfera de Riemann se puede describir mediante dos gráficos, ambos con dominio igual al plano numérico complejo. $\mathbf {C}$. Sea $\zeta$ un número complejo en una copia de $\mathbf {C}$, y sea $\xi$ un número complejo en otra copia de $\mathbf {C}$. Identifica cada número complejo distinto de cero $\zeta$ del primero $\mathbf {C}$ con el número complejo distinto de cero $1/\xi$ del segundo $\mathbf {C}$. Entonces el mapa $f(z)={\frac {1}{z}}$

se llama el mapa de transición entre las dos copias de $\mathbf {C}$ de los denominados gráficos topológicos, vinculándolos entre sí. Dado que los mapas de transición son holomorfos, definen una variedad compleja, llamada esfera de Riemann. Al ser una variedad compleja de 1 dimensión compleja (es decir, 2 dimensiones reales), también se la denomina superficie de Riemann.

Intuitivamente, los mapas de transición indican cómo unir dos planos para formar la esfera de Riemann. Los planos están pegados "de adentro hacia afuera", de modo que se superponen en casi todas partes, y cada plano contribuye con solo un punto (su origen) que falta en el otro plano. En otras palabras, (casi) cada punto en la esfera de Riemann tiene tanto un valor $\zeta$ y un valor $\xi$ , y los dos valores están relacionados mediante $\zeta =1/\xi$. El punto donde $\xi =0$ debe entonces tener un valor $\zeta$ "$1/0$"; en este sentido, el origen $\xi$ del gráfico desempeña el rol de $\infty$ en el gráfico $\zeta$. Simétricamente el origen $\zeta$ del gráfico desempeña el rol de $\infty$ en el gráfico $\xi$.

Topológicamente , el espacio resultante es la compactación de un punto de un plano en la esfera. Sin embargo, la esfera de Riemann no es simplemente una esfera topológica. Es una esfera con una estructura compleja bien definida , de modo que alrededor de cada punto de la esfera hay una vecindad que se puede identificar biholomorficamente con $\mathbf {C}$.

Por otro lado, el teorema de uniformización, un resultado central en la clasificación de las superficies de Riemann, establece que toda superficie de Riemann simplemente conectada es biholomorfa al plano complejo, al plano hiperbólico o a la esfera de Riemann. De estos, la esfera de Riemann es la única que es una superficie cerrada (una superficie compacta sin límite ). Por lo tanto, la esfera bidimensional admite una estructura compleja única que la convierte en una variedad compleja unidimensional.

Véase también

• Álgebra de Witt
• Punto del infinito

Bibliografía

• Brown, James and Churchill, Ruel (1989). Complex Variables and Applications. Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0070109052. 
• Griffiths, Phillip and Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1. 
• Penrose, Roger (2005). The Road to Reality. Nueva York: Knopf. ISBN 0-679-45443-8. 
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis. Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0071002766. 
• Weisstein, Eric W. «Riemann sphere». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q825857
• Multimedia: Riemann sphere / Q825857