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Topología cociente

(Redirigido desde «Espacio cociente (topología)»)
Ilustración de un espacio cociente, S2, obtenida por pegado del contorno (en azul) del disco D2 a un solo punto.

En matemáticas, la topología cociente consiste intuitivamente en crear una topología pegando ciertos puntos sobre otros, en un espacio dado, por medio de una relación de equivalencia bien definida. El nuevo espacio así generado recibe el nombre de espacio cociente. Ejemplos conocidos son el toro matemático o la banda de Möbius.

DefiniciónEditar

Sean   un espacio topológico y   una relación de equivalencia sobre  . El conjunto cociente   es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos de  :

 

Los conjuntos abiertos que conforman la llamada topología cociente sobre   son los conjuntos de las clases de equivalencia cuyas uniones son conjuntos abiertos en  :

 

Definición equivalente: sea la aplicación proyección   dada por  , se definen los abiertos de   como los conjuntos   tales que   es abierto.

PropiedadesEditar

  • La aplicación   que envía a cada elemento a su clase de equivalencia correspondiente es continua[1]​ y esta topología es la más fina topología que hace esto.
  • Sean   y  . La aplicación   es continua si, y sólo si, la composición   es continua.[1]
  • La propiedad universal: La topología cociente es la única topología que cumple que para cualquier espacio topológico (Z, t) y cualquier función g:(Y,  )->(Z, t) se tiene que g es continua si y sólo si   es continua

EjemplosEditar

  • El toro como conjunto cociente:[1]​ Sobre   se define la relación de equivalencia   y  . El espacio cociente   es homeomorfo a un toro.
  • La banda de Möbius como conjunto cociente:[1]​ Sobre   se define la relación de equivalencia  . El espacio cociente   es homeomorfo a una banda de Möbius.
  • La botella de Klein como conjunto cociente:[2]​ Sobre   se define la relación de equivalencia   y  . El espacio cociente   es homeomorfo a una botella de Klein (es difícil de visualizar puesto que no es homeomorfo a un subespacio de  ).
  • La esfera como conjunto cociente:[3]​ Sobre   se define la relación de equivalencia   para   de la frontera. El espacio cociente correspondiente es homeomorfo a una esfera.

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar

ReferenciasEditar

  1. a b c d Llopis, José L. «Espacio topológico cociente». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 18 de septiembre de 2019. 
  2. A. Stolz, Stephan. Algebraic Topology (en inglés). Consultado el 18 de septiembre de 2019. 
  3. Classification of surfaces (en inglés). Consultado el 18 de septiembre de 2019.