Topología cociente

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En matemáticas, la topología cociente consiste intuitivamente en crear una topología pegando ciertos puntos sobre otros, en un espacio dado, por medio de una relación de equivalencia bien definida. El nuevo espacio así generado recibe el nombre de espacio cociente. Ejemplos conocidos son el toro matemático o la banda de Möbius.

Ilustración de un espacio cociente, S2, obtenida por pegado del contorno (en azul) del disco D2 a un solo punto.

Definición

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Sean   un espacio topológico y   una relación de equivalencia sobre  . El conjunto cociente   es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos de  :

 

Los conjuntos abiertos que conforman la llamada topología cociente sobre   son los conjuntos de las clases de equivalencia cuyas uniones son conjuntos abiertos en  :

 

Definición equivalente: sea la aplicación proyección   dada por  , se definen los abiertos de   como los conjuntos   tales que   es abierto. Es decir, un conjunto de clases de equivalencia es abierto si los elementos que las forman son un conjunto abierto de la topología original.

  es, en efecto, una topología. (Según la definición equivalente)
    ya que  , que es un abierto de   por definición de topología.

    ya que  , que es un abierto de   por definición de topología.

  Dados   abiertos de  , tenemos que   por definición de topología cociente. Por ser   topología,  , pero  .

  Dados   abiertos de  , tenemos que   por definición de topología cociente. Por ser   topología,  , pero  .

Propiedades

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  • La aplicación proyección al cociente   que envía a cada elemento a su clase de equivalencia correspondiente es continua[1]​y la topología cociente es la más fina que se puede definir en   que cumple esto. Es decir, la topología cociente es la topología final respecto a la proyección al cociente.
Demostración
Claramente, la topología cociente hace la proyección al cociente continua. En efecto, para ver que es continua, tomamos   abierto y vemos que su antiimagen por   es abierta de  . Pero por ser   abierto de la topología cociente, por definición,   es un abierto, que es lo que queríamos.

Que es la más fina que lo cumple también es inmediato por definición. Si   es una topología de   más fina que  , por definición, necesariamente tiene un abierto   con   no abierto de  , y esto contradice la definición de continuidad.

  • Sean   la proyección al cociente y   una aplicación. Entonces, la aplicación   es continua si, y sólo si, la composición   es continua.[1]
Demostración
  Como   es continua por hipótesis y ya se ha demostrado que   es continua,   es continua por ser composición de aplicaciones continuas.

  Sea   abierto y veamos que su antiimagen por  ,  , es un abierto de  . Esto es equivalente, por definición de topología cociente, a ver que   es un abierto de  , pero esto es cierto por ser   continua, por hipótesis.  

  • La propiedad universal: La topología cociente es la única topología que cumple que para cualquier espacio topológico (Z, T) y cualquier función g:(Y,  )   (Z, T) se tiene que g es continua si y sólo si   es continua

Ejemplos

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En los siguientes ejemplos los homeomorfismos se construyen primero deformando el espacio cociente sin tener en cuenta la relación de equivalencia (cortándola) y después pegando los trozos que estaban relacionados. Es decir, estamos admitiendo que podemos construir un homeomorfismo entre dos espacios cociente a partir de uno entre los espacios originales siempre y cuando los elementos relacionados antes y después del homeomorfismo sean los mismos. Este resultado, que justifica que las construcciones siguientes son correctas, se conoce como lema de cortar y pegar, y se demuestra a continuación

Lema de cortar y pegar: Sea   un homeomorfismo y   relaciones de equivalencia en   e  , respectivamente, que satisfacen que  .

Entonces, la aplicación   dada por   está bien definida y es un homeomorfismo.

  Está bien definida: sean   y veamos que la imagen por   de su clase de equivalencia   no depende de cuál tomemos como representante.

En efecto,  , que es lo que queríamos.

    es exhaustiva: Sea  , con representante  . Como   es homeomorfismo y, en particular, exhaustiva,   tal que  . Pero entonces   y tenemos una antiimagen   de  .

    es inyectiva: Supongamos que   y veamos que  . En efecto,  .

    es continua. Sean   las proyecciones a  , respectivamente. Tenemos que  :

En efecto, dado  ,  . Pero   es continua por ser homeomorfismo y   por ser una proyección al cociente. Por tanto, también lo es la composición  , pero por la segunda propiedad del apartado de propiedades esto quiere decir que   es continua.

    es continua. La demostración es la misma que   pero heredando continuidad de   (continua por ser   homeomorfismo).  

  • El toro como conjunto cociente:[1]​ Sobre   se define la relación de equivalencia   y  . El espacio cociente   es homeomorfo a un toro.
 
Toro
  • La banda de Möbius como conjunto cociente:[1]​ Sobre   se define la relación de equivalencia  . El espacio cociente   es homeomorfo a una banda de Möbius.
 
Banda de Möbius
  • La botella de Klein como conjunto cociente:[2]​ Sobre   se define la relación de equivalencia   y  . El espacio cociente   es homeomorfo a una botella de Klein (es difícil de visualizar puesto que no es homeomorfo a un subespacio de  ).
  • La esfera como conjunto cociente:[3]​ Sobre   (cuadrado de vértices  ) se define la relación de equivalencia   para   de la frontera. El espacio cociente correspondiente es homeomorfo a una esfera.

Referencias

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  1. a b c d Llopis, José L. «Espacio topológico cociente». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 18 de septiembre de 2019. 
  2. A. Stolz, Stephan. Algebraic Topology (en inglés). Consultado el 18 de septiembre de 2019. 
  3. Classification of surfaces (en inglés). Consultado el 18 de septiembre de 2019. 

Bibliografía

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Enlaces externos

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