Espacio de Asplund

estructura topológica relacionada con los espacios de Banach

En matemáticas, más específicamente en análisis funcional, un espacio de Asplund[1]​ o espacio de diferenciabilidad fuerte es un tipo de espacio de Banach bien domado. Los espacios de Asplund fueron introducidos en 1968 por el matemático Edgar Asplund, que estaba interesado en las propiedades de la diferenciabilidad de Fréchet de las funciones lipschitzianas en los espacios de Banach.

Definiciones equivalentes

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Hay muchas definiciones equivalentes de lo que significa que un espacio de Banach X sea un espacio de Asplund:

Propiedades de los espacios de Asplund

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  • La clase de espacios de Asplund está cerrada bajo isomorfismos topológicos. Es decir, si X e Y son espacios de Banach, X es de Asplund y X es homeomorfo a Y, entonces Y también es un espacio de Asplund.
  • Cada subespacio vectorial cerrado de un espacio de Asplund es un espacio de Asplund.
  • Cada espacio cociente de un espacio de Asplund es un espacio de Asplund.
  • La clase de espacios de Asplund está cerrada bajo extensiones: si X es un espacio de Banach e Y es un subespacio de Asplund de X para el cual el espacio cociente X ⁄ Y es de Asplund, entonces X es de Asplund.
  • Cada función local de Lipschitz en un subconjunto abierto de un espacio de Asplund es diferenciable de Fréchet en los puntos de algún subconjunto denso de su dominio. Este resultado fue establecido por Preiss en 1990 y tiene aplicaciones en la teoría de la optimización.
  • El siguiente teorema del artículo original de Asplund de 1968 es un buen ejemplo de por qué los espacios que no son de Asplund se no se ajustan a esta propiedad: si X no es un espacio de Asplund, entonces existe una norma equivalente en X que no cumple con ser diferenciable de Fréchet en cada punto de X.
  • En 1976, Ekeland y Lebourg demostraron que si X es un espacio de Banach que tiene una norma equivalente que es diferenciable de Fréchet desde el origen, entonces X es un espacio de Asplund. Sin embargo, en 1990, Haydon dio un ejemplo de un espacio de Asplund que no tiene una norma equivalente que sea diferenciable de Gateaux alejada del origen.

Referencias

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  1. Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolaos Socrates Papageorgiou (2003). An Introduction to Nonlinear Analysis: Theory. Springer Science & Business Media. pp. 561 de 823. ISBN 9780306473920. Consultado el 27 de noviembre de 2023. 

Bibliografía

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