Espacio dual fuerte

tipo de espacio topológico

En análisis funcional y en otras áreas relacionadas de las matemáticas, el espacio dual fuerte de un espacio vectorial topológico (EVT) es el espacio dual de equipado con la topología (dual) fuerte o topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de donde esta topología se denota por o La topología polar más gruesa se llama topología débil.

El espacio dual fuerte juega un papel tan importante en el análisis funcional moderno, que generalmente se supone que el espacio dual continuo tiene una topología dual fuerte a menos que se indique lo contrario. Para enfatizar que el espacio dual continuo, tiene una topología dual fuerte, se puede escribir o .

Topología dual fuerte

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En todo momento, se supondrá que todos los espacios vectoriales están sobre el cuerpo   de los números reales   o de los números complejos  

Definición a partir de un sistema dual

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Sea   un par dual de espacios vectoriales sobre el cuerpo   de los números reales   o de los números complejos   Para cualquier   y cualquier   se define

 

Ni   ni   tienen una topología, por lo que se dice que un subconjunto   está delimitado por un subconjunto   si   es para todos los   Entonces, un subconjunto   se llama acotado si y solo si

 

Esto es equivalente a la noción habitual de subconjuntos acotados cuando a   se le da la topología débil inducida por   que es una topología localmente convexa de Hausdorff.

Sea   la familia de todos los subconjuntos   delimitados por elementos de  ; es decir,   es el conjunto de todos los subconjuntos   tales que para cada  

 

Entonces, la topología fuerte   en   también denotada por   o simplemente   o   si se entiende el emparejamiento  , se define como la topología localmente convexa en   generada por las seminormas de la forma

 

La definición de la topología dual fuerte se realiza ahora como en el caso de un EVT. Téngase en cuenta que si   es un EVT cuyo espacio dual continuo separa puntos en   entonces   es parte de un sistema dual canónico   donde   En el caso especial en el que   es un espacio localmente convexo, la topología fuerte en el espacio dual (continuo)   (es decir, en el espacio de todos los funcionales lineales continuos  ) se define como la topología fuerte   y coincide con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados en  , es decir, con la topología en   generada por las seminormas de la forma

 

donde   opera sobre la familia de todos los conjuntos acotados en   El espacio   con esta topología se denomina espacio dual fuerte del espacio   y se denota por  

Definición en un EVT

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Supóngase que   es un espacio vectorial topológico (EVT) sobre el cuerpo   Sea   cualquier sistema fundamental de conjuntos acotados de  ; es decir,   es una familia de subconjuntos acotados de   de modo que cada subconjunto acotado de   es un subconjunto de algún  . Entonces, el conjunto de todos los subconjuntos acotados de   forma un sistema fundamental de conjuntos acotados de   Una base de entornos cerrados del origen en   viene dada por los conjuntos polares:

 

ya que   está por encima de  ). Esta es una topología localmente convexa dada por el conjunto de seminormas en  

 

ya que   se extiende sobre  

Si   es normado, entonces también lo es   y   será de hecho un espacio de Banach. Si   es un espacio normado con la norma  , entonces   tiene una norma canónica (la norma de operador) dada por  . La topología que esta norma induce en   es idéntica a la topología dual fuerte.

Bidual

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El bidual o segundo dual de un EVT   a menudo denotado por   es el dual fuerte del dual fuerte de  

 

donde   denota   dotado de la topología dual fuerte   A menos que se indique lo contrario, generalmente se supone que el espacio vectorial   está dotado de la topología dual fuerte inducida en él por  , en cuyo caso se le llama bidual fuerte de  ; esto es,

 

donde el espacio vectorial   está dotado de la topología dual fuerte  

Propiedades

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Sea   un EVT localmente convexo.

  • Un subconjunto convexo equilibrado débilmente compacto de   está acotado en  [1]
  • Cada subconjunto débilmente acotado de   está fuertemente acotado.[2]
  • Si   es un espacio barrilado, entonces la topología de   es idéntica a la topología dual fuerte   y a la topología de Mackey en  
  • Si   es un espacio localmente convexo metrizable, entonces el dual fuerte de   es un espacio bornológico si y solo si es un espacio infrabarrilado, si y solo si es un espacio barrilado.[3]
  • Si   es un EVT localmente convexo de Hausdorff, entonces   es metrizable si y solo si existe un conjunto numerable   de subconjuntos acotados de   tal que cada subconjunto acotado de   esté contenido en algún elemento de  [4]
  • Si   es localmente convexo, entonces esta topología es más fina que todas las demás topologías   en   cuando se consideran solo   cuyos conjuntos son subconjuntos de  
  • Si   es un espacio bornológico (por ejemplo, un espacio metrizable o un espacio LF), entonces   es completo.

Si   es un espacio barrilado, entonces su topología coincide con la topología fuerte   en   y con la topología de Mackey generada por el emparejamiento  

Ejemplos

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Si   es un espacio vectorial normado, entonces su espacio dual (continuo)   con la topología fuerte coincide con el espacio de Banach dual  ; es decir, con el espacio   con la topología inducida por la norma de operador. Por el contrario, la topología   en   es idéntica a la topología inducida por la norma en  

Véase también

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Referencias

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Bibliografía

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