Polinomios de Gegenbauer

familia de polinomios ortogonales en el intervalo [-1,1]

En matemáticas, los polinomios de Gegenbauer o polinomios ultraesféricos C(α)
n
(x) son polinomios ortogonales en el intervalo [−1,1] con respecto a la función de ponderación (1 − x2)α–1/2. Generalizan los polinomios de Legendre y los polinomios de Chebyshov; y son casos especiales de los polinomios de Jacobi. Llevan el nombre de Leopold Gegenbauer.

Animación que muestra los polinomios en el plano para los primeros 4 valores de n

Caracterizaciones

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Gráfico del polinomio C n^(m)(x) de Gegenbauer con n=10 y m=1 en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Hay disponibles varias caracterizaciones de los polinomios de Gegenbauer:

 
 
  • Los polinomios de Gegenbauer son soluciones particulares de la ecuación diferencial de Gegenbauer (Suetin, 2001):
 
Cuando α = 1/2, la ecuación se reduce a la ecuación de Legendre, y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Legendre.
Cuando α = 1, la ecuación se reduce a la ecuación diferencial de Chebyshov, y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Chebyshov de segunda clase.[1]
 
(Abramowitz & Stegun p. 561). Aquí (2α)n es el factorial ascendente. Explícitamente,
 
 
en el que   representa el factorial ascendente de  .
Por lo tanto también se obtiene la fórmula de Rodrigues
 

Gráficos

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Ortogonalidad y normalización

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Para un α fijo, los polinomios son ortogonales en [−1, 1] con respecto a la función de ponderación (Abramowitz & Stegun /página_774.htm pág. 774)

 

A saber, para n ≠ m,

 

son normalizados por

 

Aplicaciones

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Los polinomios de Gegenbauer aparecen naturalmente como extensiones de los polinomios de Legendre en el contexto de la teoría del potencial y del análisis armónico. El potencial newtoniano en Rn tiene la expansión, válida con α = (n − 2)/2,

 

Cuando n = 3, esto da la expansión del polinomio de Legendre del potencial gravitatorio. Expresiones similares están disponibles para la expansión del núcleo de Poisson en una bola (Stein y Weiss, 1971).

De ello se deduce que las cantidades   son armónicos esféricos, cuando se consideran como una función de x solamente. Son, de hecho, exactamente los armónicos esféricos zonales, hasta una constante de normalización.

Los polinomios de Gegenbauer también aparecen en la teoría de funciones definidas positivas.

La desigualdad de Askey-Gasper se lee como

 

En métodos espectrales para resolver ecuaciones diferenciales, si una función se expande en base a los polinomios de Chebyshov y su derivada se representa en una base de Gegenbauer/ultraesférica, entonces el operador derivado se convierte en una matriz diagonal, lo que lleva a métodos de matriz banda rápidos para problemas grandes.[2]

Véase también

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Referencias

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  1. Arfken, Weber, and Harris (2013) "Mathematical Methods for Physicists", 7th edition; ch. 18.4
  2. Olver, Sheehan; Townsend, Alex (January 2013). «A Fast and Well-Conditioned Spectral Method». SIAM Review 55 (3): 462-489. ISSN 0036-1445. doi:10.1137/120865458. «eissn: 1095-7200 - arxiv: 1202.1347». 

Bibliografía

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  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.*Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
  • Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 ..
  • Suetin, P.K. (2001), «Polinomios de Gegenbauer», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 ..