Diferencia entre revisiones de «Orden total»
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* Cualquier [[subconjunto]] de un conjunto totalmente ordenado, restringiendo a él, el orden del conjunto completo.
* Todo [[conjunto parcialmente ordenado]] ''X'' donde cualesquiera dos elementos se pueden comparar ([[Id est|i.e.]] para todo par de elementos ''a'' y ''b'' en ''X'', ''a'' ≤ ''b'' o ''b'' ≤ ''a'').
* Todo conjunto de [[número cardinal|números cardinales]] o [[Número ordinal (teoría de conjuntos)|números ordinales]] (más aún,
* Si ''X'' es un conjunto y ''f'' una [[función inyectiva]] de ''X'' a un conjunto totalmente ordenado, ''f'' induce un orden total en ''X'' tomando ''x'' < ''y'' si y solo si ''f''(''x'') < ''f''(''y'').
* El [[orden lexicográfico]] en el [[producto cartesiano]] de cualquier colección de conjuntos totalmente ordenados es en sí mismo un orden total. Por ejemplo, cualquier conjunto de palabras con el orden alfabético usual está totalmente ordenado, visto como un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto finito de símbolos, el alfabeto con un espacio vacío (que se define menor que cualquier letra), un número contable de veces.
Línea 50:
== Topología del orden ==
Para todo conjunto totalmente ordenado ''X'', se pueden definir los '''[[intervalo (matemáticas)|intervalos]] abiertos''' (''a'', ''b'') := {''x'' ∈ ''X'' | ''a'' < ''x'' y ''x'' < ''b''}, (−∞, ''b'') = {''x'' ∈ ''X'' | ''x'' < ''b''}, (''a'', ∞) = {''x'' ∈ ''X'' | ''a'' < ''x''} y (−∞, ∞) = ''X''. Con
Nótese que la definición formal de un conjunto ordenado como una pareja formada por un conjunto y un orden garantiza que la topología del orden sea única en cada conjunto ordenado. Sin embargo, en la práctica la distinción entre un conjunto con un orden definido en él y la pareja de conjunto y orden se obvia casi siempre. Para evitar entonces confusión cuando se usa más de un orden sobre un conjunto se habla de la topología del orden inducida por un orden particular. Por ejemplo, si '''N''' es el conjunto de los naturales, y < y > son las relaciones usuales de menor y mayor, se puede hablar de la topología del orden en '''N''' inducida por < y aquella inducida por > (en este caso resultan ser la misma, pero en general no será así).
Línea 66:
Aunque, según la definición, una '''cadena''' es exactamente lo mismo que un '''conjunto totalmente ordenado''', el término se usa en general para referirse a subconjuntos totalmente ordenados de un [[conjunto parcialmente ordenado]]; los reales, por ejemplo, seguirían siendo un conjunto totalmente ordenado. Sin embargo, si se considera el conjunto de partes de los naturales parcialmente ordenado por inclusión, un subconjunto totalmente ordenado de éste sería llamado ''cadena''.
La preferencia por el uso de "cadena" para referirse a los subconjuntos mencionados probablemente viene de la importancia que
== Órdenes totales finitos ==
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