Grupo cuaterniónico

Tabla de multiplicar del grupo cuaterniónicoico (forma simplificada) 1 i j k 1 1 i j k i i −1 k −j j j −k −1 i k k j −i −1

En teoría de grupos, el grupo cuaterniónico (o también grupo de los cuaterniones) ₈X (a veces simplemente denotado por Q) es un grupo no abeliano de orden ocho, isomorfo al subconjunto de ocho elementos $\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$ de los cuaterniones bajo la multiplicación. Está dado por la presentación de grupo

$\mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,$

donde e es el elemento identidad y e conmuta con los demás elementos del grupo. Estas relaciones, descubiertas por William Rowan Hamilton, también generan los cuaterniones como un álgebra sobre los números reales.

Otra presentación de Q₈ es

$\mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=e,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .$

Como muchos otros grupos finitos, puede realizarse como el grupo de Galois de un determinado cuerpo de números algebraicos.​

Comparación con el grupo diédrico

Diagrama cíclico de ₈X. Cada color especifica una serie de potencias de cualquier elemento conectado al elemento identidad e=1. Por ejemplo, el ciclo en rojo refleja el hecho de que i²= e, i³= i e i⁴= e. El ciclo rojo también refleja que i²= e, i³= i y i⁴= e

El grupo cuaterniónico ₈X tiene el mismo orden que el grupo diédrico D₄, pero una estructura diferente, como lo muestran sus grafos cíclico y de Cayley:

	Q8	D4
Grafo de Cayley	Flechas rojas conectan g→gi, y las verdes g→gj.
Grafo cíclico

En los diagramas de D₄, los elementos del grupo están marcados con su acción sobre una letra F en su representación definitoria respecto a 'R². No se puede hacer lo mismo con ₈X, ya que no tiene una representación fiel en R² o R³. D₄ puede realizarse como un subconjunto de los cuaterniones divididos de la misma manera que ₈X puede verse como un subconjunto de los cuaterniones.

Tabla de Cayley

×	e	e	i	i	j	j	k	k
e	e	e	i	i	j	j	k	k
e	e	e	i	i	j	j	k	k
i	i	i	e	e	k	k	j	j
i	i	i	e	e	k	k	j	j
j	j	j	k	k	e	e	i	i
j	j	j	k	k	e	e	i	i
k	k	k	j	j	i	i	e	e
k	k	k	j	j	i	i	e	e

La tabla de Cayley (tabla de multiplicar) para ₈X viene dada por:​

Propiedades

Los elementos i, j y k tienen todos orden cuatro en ₈X y dos de ellos generan el grupo completo. Otra presentación de ₈X​ basada en solo dos elementos para saltarse esta redundancia es:

$\left\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\right\rangle .$

Por ejemplo, al escribir los elementos del grupo en formas normales mínimas lexicográficamente, se puede identificar:

$\{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}\leftrightarrow \{e,x^{2},x,x^{3},y,x^{2}y,xy,x^{3}y\}.$

El grupo cuaterniónico tiene la propiedad inusual de ser hamiltoniano: ₈X no es abeliano, pero cada subgrupo es normal.​ Cada grupo hamiltoniano contiene una copia de ₈X.​

El grupo cuaterniónico ₈X y el grupo diédrico D₄ son los dos ejemplos más pequeños de un grupo no abeliano nilpotente.

El centro y el subgrupo conmutador de ₈X es el subgrupo $\{e,{\bar {e}}\}$. El automorfismo interno de ₈X viene dado por el módulo del grupo en su centro, es decir, el grupo cociente $\mathrm {Q} _{8}/\{e,{\bar {e}}\},$ que es isomorfo al grupo de Klein V. El grupo de automorfismo completo de ₈X es isomorfo a S₄, el grupo simétrico de cuatro letras (consúltese Representaciones matriciales a continuación) , y el grupo de automorfismo externo de ₈X es, por tanto, S₄/V, que es isomorfo a S₃.

El grupo cuaterniónico ₈X tiene cinco clases de conjugación, $\{e\},\{{\bar {e}}\},\{i,{\bar {i}}\},\{j,{\bar {j}}\},\{k,{\bar {k}}\},$ y, por tanto, cinco representaciones irreductibles sobre los números complejos, con dimensiones 1, 1, 1, 1, 2:

Representación trivial.

Representaciones de signos con i, j, k-núcleo: ₈X tiene tres subgrupos normales máximos: los subgrupos cíclicos generados por i, j y k respectivamente. Para cada subgrupo normal máximo N, se obtiene una representación unidimensional factorizando a través del grupo cociente G/N de 2 elementos. La representación envía elementos de N a 1 y elementos fuera de N a −1.

Representación bidimensional: se describe a continuación en Representaciones matriciales. No es realizable sobre los números reales, dado que se trata de una representación compleja: de hecho, son solo los cuaterniones $\mathbb {H}$ considerados como un álgebra sobre $\mathbb {C}$, y la acción es la de multiplicar por la izquierda por $Q_{8}\subset \mathbb {H}$.

La tabla de caracteres de ₈X resulta ser la misma que la de D₄:

Representación(ρ)/Clase de conjugación	{e }	{e }	{i, i }	{j, j }	{k, k }
Representación trivial	1	1	1	1	1
Representación de signos con i-núcleo	1	1	1	−1	−1
Representación de signos con j-núcleo	1	1	−1	1	−1
Representación de signos con k-núcleo	1	1	−1	−1	1
Representación 2-dimensional	2	−2	0	0	0

Sin embargo, todos los caracteres irreducibles $\chi _{\rho }$ en las filas anteriores tienen valores reales, esto da la descomposición del álgebra de grupo real de $G=\mathrm {Q} _{8}$ en ideales mínimos de dos lados:

$\mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]=\bigoplus _{\rho }(e_{\rho }),$

donde los idempotentes $e_{\rho }\in \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]$ corresponden a los irreducibles:

$e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g,$

de modo que

${\begin{aligned}e_{\text{triv}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{i{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{j{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{k{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{2}&={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\end{aligned}}$

Cada uno de estos ideales irreducibles es isomorfo a un álgebra simple central real, los primeros cuatro al cuerpo real $\mathbb {R}$. El último ideal $(e_{2})$ es isomorfo al anillo de división de los cuaterniones $\mathbb {H}$ por la correspondencia:

${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})&\longleftrightarrow 1,\\{\tfrac {1}{2}}(i-{\bar {i}})&\longleftrightarrow i,\\{\tfrac {1}{2}}(j-{\bar {j}})&\longleftrightarrow j,\\{\tfrac {1}{2}}(k-{\bar {k}})&\longleftrightarrow k.\end{aligned}}$

Además, el homomorfismo de proyección $\mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H}$ dado por $r\mapsto re_{2}$ tiene un núcleo ideal generado por el idempotente:

$e_{2}^{\perp }=e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),$

por lo que los cuaterniones también se pueden obtener como el anillo cociente $\mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H}$. Téngase en cuenta que esto es irreducible como una representación real de $Q_{8}$, pero se divide en dos copias del irreducible bidimensional cuando se extiende a los números complejos. De hecho, el álgebra de grupos complejos es $\mathbb {C} [\mathrm {Q} _{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} ),$, donde $M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$ es el álgebra bicuaterniónica.

Representaciones matriciales

Tabla de multiplicar del grupo cuaterniónico como subgrupo del SL(2,C). Las entradas están representadas por sectores correspondientes a sus argumentos: 1 (verde), i (azul), −1 (rojo), −i (amarillo)

La representación del complejo irreducible bidimensional descrito anteriormente da el grupo cuaterniónico ₈X como un subgrupo del grupo lineal general $\operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )$. El grupo cuaterniónico es un subgrupo multiplicativo del álgebra de cuaterniones:

$\mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j,$

que tiene una representación regular $\rho :\mathbb {H} \to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ por multiplicación por la izquierda sobre sí mismo considerado como un espacio vectorial complejo con base $\{1,j\},$ de modo que $z\in \mathbb {H}$ corresponde a la aplicación lineal $\mathbb {C}$ $\rho _{z}:a+jb\mapsto z\cdot (a+jb).$ La representación resultante

${\begin{cases}\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )\\g\longmapsto \rho _{g}\end{cases}}$

que viene dada por:

${\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}$

Dado que todas las matrices anteriores tienen determinante unitario, esta es una representación de ₈X en el grupo lineal especial $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$.​

Una variante da una representación por matrices unitarias (tabla de la derecha). Sea $g\in \mathrm {Q} _{8}$ la aplicación lineal $\rho _{g}:a+bj\mapsto (a+bj)\cdot jg^{-1}j^{-1},$ de modo que $\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SU} (2)$ esté dado por:

${\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}$

Vale la pena señalar que los físicos utilizan exclusivamente una convención diferente para que la representación matricial $\operatorname {SU} (2)$ sea coherente con las matrices de Pauli habituales:

${\begin{matrix}&e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\quad \,1_{2\times 2}&i\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-i\!\\\!\!-i\!\!&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{x}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-1\!\\1&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{y}&k\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-i\!\!&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i\sigma _{z}\\&{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-1\!&0\\0&\!\!\!-1\!\end{pmatrix}}=-1_{2\times 2}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{x}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!-1\!\!&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{y}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!-i\!\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{z}.\end{matrix}}$

Esta elección particular es conveniente y elegante cuando se describen estados de espín -1/2 en la base $({\vec {J}}^{2},J_{z})$ y se considera operadores en escalera del momento angular $J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}.$

Tabla de multiplicar del grupo cuaterniónico como subgrupo de SL(2,3). Los elementos del cuerpo se denotan por 0, +, −

También hay una importante acción de ₈X en el espacio vectorial bidimensional sobre elcuerpo finito $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,-1\}$ (tabla de la derecha). Una representación modular $\rho :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SL} (2,3)$ viene dada por

${\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}$

Esta representación se puede obtener de la extensión del cuerpo:

$\mathbb {F} _{9}=\mathbb {F} _{3}[k]=\mathbb {F} _{3}1+\mathbb {F} _{3}k,$

donde $k^{2}=-1$ y el grupo multiplicativo $\mathbb {F} _{9}^{\times }$ tiene cuatro generadores, $\pm (k\pm 1),$ de orden 8. Para cada $z\in \mathbb {F} _{9},$, el espacio vectorial $\mathbb {F} _{3}$ bidimensional $\mathbb {F} _{9}$ admite una aplicación lineal:

${\begin{cases}\mu _{z}:\mathbb {F} _{9}\to \mathbb {F} _{9}\\\mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)\end{cases}}$

Además se tiene el automorfismo de Frobenius $\phi (a+bk)=(a+bk)^{3}$ que satisface $\phi ^{2}=\mu _{1}$ y $\phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi .$. Entonces, las matrices de representación anteriores son:

${\begin{aligned}\rho ({\bar {e}})&=\mu _{-1},\\\rho (i)&=\mu _{k+1}\phi ,\\\rho (j)&=\mu _{k-1}\phi ,\\\rho (k)&=\mu _{k}.\end{aligned}}$

Esta representación realiza ₈X como un subgrupo normal de GL(2, 3). Así, para cada matriz $m\in \operatorname {GL} (2,3)$, se tiene un automorfismo de grupo

${\begin{cases}\psi _{m}:\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {Q} _{8}\\\psi _{m}(g)=mgm^{-1}\end{cases}}$

con $\psi _{I}=\psi _{-I}=\mathrm {id} _{\mathrm {Q} _{8}}.$ De hecho, generan el grupo de automorfismo completo como:

$\operatorname {Aut} (\mathrm {Q} _{8})\cong \operatorname {PGL} (2,3)=\operatorname {GL} (2,3)/\{\pm I\}\cong S_{4}.$

que es isomorfo al grupo simétrico S₄, ya que las asignaciones lineales $m:\mathbb {F} _{3}^{2}\to \mathbb {F} _{3}^{2}$ permutan los cuatro subespacios unidimensionales de $\mathbb {F} _{3}^{2},$, es decir, los cuatro puntos del espacio proyectivo $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {F} _{3})=\operatorname {PG} (1,3).$

Además, esta representación permuta los ocho vectores distintos de cero de $\mathbb {F} _{3}^{2},$ dando una inclusión de ₈X en el grupo simétrico S₈, además de las inclusiones dadas por las representaciones regulares.

Grupo de Galois

Richard Dedekind consideró el cuerpo $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]$ al intentar relacionar el grupo cuaterniónico con la teoría de Galois.​ En 1936 Ernst Witt publicó su aproximación al grupo cuaterniónico a través de la teoría de Galois.​

En 1981, Richard Dean demostró que el grupo cuaterniónico se puede realizar como el grupo de Galois Gal(T/Q') donde Q es el cuerpo de los números racionales y T es el cuerpo de descomposición del polinomio

$x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36$.

El desarrollo utiliza el teorema fundamental de la teoría de Galois para especificar cuatro cuerpos intermedios entre Q y T y sus grupos de Galois, así como dos teoremas sobre la extensión cíclica de grado cuatro sobre un cuerpo.​

Grupo cuaterniónico generalizado

Un grupo cuaterniónico generalizado _4nX de orden 4n está definido por la presentación​

$\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$

para un número entero n ≥ 2, con el grupo cuaterniónico habitual dado por n = 2.​ Coxeter llama a _4nX grupo dicíclico $\langle 2,2,n\rangle$, un caso especial de los grupos de puntos en tres dimensiones $\langle \ell ,m,n\rangle$ y relacionado con el grupo poliédrico $(p,q,r)$ y el grupo diédrico $(2,2,n)$. El grupo cuaterniónico generalizado se puede realizar como el subgrupo de $\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )$ generado por

$\left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{y }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)$

donde $\omega _{n}=e^{i\pi /n}$.​ También se puede realizar como el subgrupo cuaterniónico unitario generado por​ $x=e^{i\pi /n}$ y $y=j$.

Los grupos cuaterniónicos generalizados tienen la propiedad de que cada subgrupo abeliano es cíclico.​ Se puede demostrar que un p-grupo finito con esta propiedad (cada subgrupo abeliano es cíclico) es cíclico o un grupo cuaterniónico generalizado como se definió anteriormente.​ Otra caracterización es que un p-grupo finito en el que hay un subgrupo único de orden p es cíclico o un grupo cuaterniónico isomorfo a uno generalizado de 2 grupos.​ En particular, para un cuerpo finito F con característica impar, el subgrupo 2-Sylow de SL₂(F) no es abeliano y tiene solo un subgrupo de orden 2, por lo que este subgrupo 2-Sylow debe ser un grupo cuaterniónico generalizado, (Gorenstein, 1980, p. 42). Suponiendo que p^r sea el tamaño de F, donde p es primo, el tamaño del subgrupo 2-Sylow de SL₂(F) es 2ⁿ, donde n= ord₂(p² − 1) + ord₂(r).

El teorema de Brauer-Suzuki muestra que los grupos cuyos subgrupos 2-Sylow son cuaterniones generalizados no pueden ser simples.

Otra terminología reserva el nombre de "grupo cuaterniónico generalizado" para un grupo dicíclico de orden una potencia de 2,​ que admite la presentación

$\langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .$

Véase también

• Hexadecacoron
• Grupo tetraédrico binario
• Álgebra de Clifford
• Grupo dicíclico
• Cuaternión de Hurwitz
• Anexo:Grupos finitos de orden bajo

Bibliografía

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2 .
• Brown, Kenneth S. (1982), Cohomology of groups (3rd edición), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1 .
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999), Homological Algebra, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5 .
• Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. 
• Dean, Richard A. (1981) "Un polinomio racional cuyo grupo son los cuaterniones", American Mathematical Monthly 88:42-5.
• Gorenstein, D. (1980), Finite Groups, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 569209 .
• Johnson, David L. (1980), Topics in the theory of group presentations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23108-4, MR 0695161 .
• Rotman, Joseph J. (1995), An introduction to the theory of groups (4th edición), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8 .
• P.R. Girard (1984) "El grupo de los cuaterniones y la física moderna", European Journal of Physics 5:25-32.
• Hall, Marshall (1999), The theory of groups (2nd edición), AMS Bookstore, ISBN 0-8218-1967-4 .
• Kurosh, Alexander G. (1979), Theory of Groups, AMS Bookstore, ISBN 0-8284-0107-1 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Quaternion group». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Grupos Quaternion en GroupNames
• Grupo cuaterniónico en GroupProps
• Conrado, Keith. "Cuaterniones generalizados"

• Datos: Q1335680
• Multimedia: Quaternion group / Q1335680