Subgrupo

subconjunto de un grupo que forma un grupo por sí mismo

En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.[1]

Las raíces de la unidad en el plano complejo forman un subgrupo del grupo circular U(1).

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir HG). El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.

El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.

Definición de un subgrupoEditar

Decimos que un subconjunto   de un grupo   es un subgrupo de   cuando   es un grupo con la operación ( de adición o multiplicación) de   restringida a los elementos de  .[2]

ProposiciónEditar

Sean   un grupo y  . El grupo   se llama Subgrupo de   si y sólo si:[3]

  • H contiene al elemento identidad de G:  .
  • la operación binaria es cerrada en H:  .
  • H contiene los elementos inversos:  .

Las dos últimas condiciones pueden expresarse de forma equivalente en una sola:[4]

  •  .

En el caso que H sea finito, es suficiente que H sea cerrado bajo producto, puesto que la existencia de los inversos se sigue automáticamente en ese caso.[5]

La operación binaria es siempre asociativa en H puesto que es asociativa para todas las ternas de elementos de G, y todos los elementos de H pertenecen a G.[6]

Propiedades de los subgruposEditar

  • Todo grupo G con más de un elemento tiene al menos dos subgrupos:[1]
    • el subgrupo trivial {e}, que contiene sólo al elemento identidad.
    • el mismo G, que es el subgrupo máximo de G.
  • Dados dos subgrupos H y K de un grupo G, la intersección   es un subgrupo.[7]​ En general, la unión de subgrupos no forma un subgrupo, salvo que uno de ellos esté contenido en el otro.[8]
  • Dado un subgrupo H de un grupo G, se puede definir un homomorfismo natural   definido por  . Dicha función es la inyección canónica de H en G.
  • Todo elemento a de un grupo G genera un subgrupo cíclico <a>. Si <a> es isomorfo a Z/n Z para algún número entero positivo n, entonces n es el número entero positivo más pequeño para el cual an = e, y n se llama el orden de a. Si <a> es isomorfo a Z, entonces a se dice que tiene orden infinito.
  • Si S es un subconjunto de G, entonces existe un subgrupo mínimo de G que contiene S: es el subgrupo generado por S y se denota por <S>. Un elemento de G está en <S> si y solamente si es un producto finito de elementos de S y de sus inversos.
  • El centro de un grupo G, denotado por  , es el subgrupo que contiene a todos los elementos que conmutan con cualquier elemento g de G. El centro es siempre un subgrupo normal y abeliano. El centro de un grupo abeliano G es el propio G.

Clases laterales y Teorema de LagrangeEditar

 
Clases laterales de Z2 en Z8.

Dados un subgrupo H de G y algún  , definimos la clase lateral izquierda  . Las clases izquierdas son las clases de equivalencia que corresponden a la relación de equivalencia a ~ b ssi b = ah para algún h en H.

Puesto que a es inversible, la función   dada por   es una biyección. Por tanto, cada clase lateral de H contiene tantos elementos como el subgrupo H; el mismo H es la clase lateral representada por eH. Las clases laterales izquierdas forman una partición de G: todo elemento de G está contenido en exactamente una y sólo una clase izquierda de H, o dicho de otro modo, G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas de H.[9]

Las clases laterales derechas se definen análogamente:  . Son también las clases de equivalencia correspondientes a una relación de equivalencia análoga:   para algún  .

El número de clases izquierdas y clases derechas de H es el mismo, se llama el índice de H en G y se denota por [G:H]. El teorema de Lagrange establece que

 

donde |G| y |H| denotan los cardinales de G y de H, respectivamente. En particular, si G es finito, entonces la cardinalidad de todo subgrupo de G y el orden de cada elemento de G debe ser un divisor de |G|.[10]

Subgrupos normalesEditar

Dados un subgrupo H de G, si aH = Ha para cada a en G, es decir, las clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden, entonces H es un subgrupo normal. En un grupo abeliano todo subgrupo es normal. Los subgrupos normales son claves en los homomorfismos de grupos y permiten definir grupos cociente.

Todo grupo G contiene al menos dos subgrupo normales: el subgrupo trivial y el propio G; si no tiene ningún otro subgrupo normal entonces G es un grupo simple.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

NotasEditar

  1. a b (Judson, 2012, p. 49)
  2. Nachbin. «Álgebra elemental»
  3. (Artin, 2011, p. 42)
  4. (Judson, 2012, p. 51)
  5. Soto Aguilar y 2011, 129.
  6. (Artin, 2011, p. 43)
  7. (Barrera, 2003, p. 15)
  8. Dubreil y Dubreil-Jacotin, 1975, p. 86.
  9. (Artin, 2011, p. 56)
  10. (Artin, 2011, p. 57)

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar