Hexecontaedro pentagonal

sólido de Catalan

En geometría, un hexecontaedro pentagonal es un sólido de Catalan, dual del dodecaedro romo. Tiene dos formas distintas, que son imagen especular (o "enantiomorfos") entre sí. Tiene 92 vértices que abarcan 60 caras pentagonales. Es el sólido de Catalan con más vértices. Entre los sólidos de Catalan y los arquimedianos, tiene el segundo mayor número de vértices, después del icosidodecaedro truncado, que tiene 120 vértices.

Hexecontaedro pentagonal
Familia: Sólidos de Catalan

Imagen del sólido

Sólido enantiomorfo
Caras 60
Polígonos que forman las caras pentágonos irregulares
Aristas 150
Vértices 92
Configuración de vértices 20 de orden 3
60 de orden 6
12 de orden 5
En serie: 3*, 3*, 3, 3*, 5
Grupo de simetría Icosaédrico (I)
Poliedro dual icosidodecaedro romo
Propiedades
Poliedro convexo de caras uniformes
Desarrollo

Coordenadas cartesianas

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Usando la simetría icosaédrica de las órbitas de Weyl,   de orden 60[1]​ se obtienen las siguientes coordenadas cartesianas, donde   es el número áureo:

  • Doce vértices de un icosaedro regular con unidad circunradio centrado en el origen con las coordenadas
 
  • Veinte vértices de un dodecaedro regular centrado en el origen e inscrito en una esfera unitaria escalado por un factor   obtenido de la solución exacta a la ecuación  ,
que da las coordenadas:
  y  

Un grupo de dos conjuntos de doce vértices tiene 0 o 2 signos menos (es decir, 1 o 3 signos más):

  

y otro grupo de tres conjuntos de 12 tienen 0 o 2 signos más (es decir, 1 o 3 signos menos):

 
  

El cambio de signo de las coordenadas de todos los vértices en ambos grupos da el espejo del dodecaedro romo quiral, la misma retícula convexa del hexacontaedro pentagonal.

Construcción

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Combinando un icosaedro (12 vértices) centrado en el origen e inscrito en una esfera de radio 1; con un dodecaedro romo quiral (60 vértices) combinado con un dodecaedro del mismo circunradio no unitario (20 vértices) se puede construir el hexacontaedro pentagonal

El hexacontaedro pentagonal se puede construir a partir de un dodecaedro romo sin tomar el dual. Las pirámides pentagonales se agregan a las 12 caras pentagonales del dodecaedro romo, y las pirámides triangulares se agregan a las 20 caras triangulares que no comparten un borde con un pentágono. Las alturas de las pirámides se ajustan para que sean coplanares con las otras 60 caras triangulares del dodecaedro romo. El resultado es el hexacontaedro pentagonal.[2]

Un método de construcción alternativo utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo de Weyl   de orden 60.[3]

Esto se muestra en una de las figuras de la derecha.

Específicamente, con los cuaterniones del grupo icosaédrico binario  , donde   es el conjugado de   y   y  , así como el grupo de Coxeter   es el grupo de simetría del hexacosicoron y el hecatonicosacoron de orden 14400, se tiene que   de orden 120.   se define como las permutaciones pares de   tales que   da las 60 coordenadas giradas del dodecaedro romo quiral, donde   es una permutación del primer conjunto de las 12 coordenadas enumeradas arriba. La coordenada exacta para   se obtiene tomando la solución a  , con  , y aplicándola a la normalización de  .

Geometría

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Modelo 3D de un hexecontaedro pentagonal

Las caras son pentágonos irregulares con dos aristas largas y tres aristas cortas. Sea   el cero real del polinomio  . Entonces, la relación   de las longitudes de los bordes viene dada por:

 .

Las caras tienen cuatro ángulos obtusos iguales y un ángulo agudo (entre los dos lados largos). Los ángulos obtusos son iguales a   y el agudo es igual a  . El ángulo diedro es igual a  . Téngase en cuenta que los centros de las caras del dodecaedro romo no pueden servir directamente como vértices del hexacontaedro pentagonal: los centros de los cuatro triángulos se encuentran en un plano, pero el centro del pentágono no, y necesita ser desplazado radialmente para hacerlo coplanar con los centros de los triángulos. En consecuencia, los vértices del hexacontaedro pentagonal no se encuentran todos en la misma esfera y, por definición, no es un zonoedro.

Para encontrar el volumen y el área de superficie de un hexacontaedro pentagonal, denótese el lado más corto de una de las caras pentagonales como   y establézcase una constante t[4]

 .

Entonces el área superficial (A) es:

 .

y el volumen (V) es:

 .

Usando estos datos, se puede calcular la medida de esfericidad del poliedro:

 

Variaciones

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Las variaciones isoedrales se pueden construir con caras pentagonales con 3 longitudes de arista.

La variación que se muestra se puede construir agregando pirámides a las 12 caras pentagonales y a las 20 caras triangulares de un dodecaedro romo, de modo que las nuevas caras triangulares sean coparalelas a otros triángulos y se puedan fusionar en las caras del pentágono.

 
Dodecaedro romo con pirámides aumentadas y caras soldadas
 
Ejemplo de una variación
 
Desarrollo

Proyecciones ortogonales

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El hexecontaedro pentagonal tiene tres posiciones de simetría, dos en los vértices y una en el medio de las aristas.

Proyecciones ortogonales
Simetría
proyectiva
[3] [5]+ [2]
Imagen      
Imagen
del dual
     

Poliedros y mosaicos relacionados

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Hexacontaedro pentagonal esférico
Familia de poliedros icosaédricos uniformes
Simetría: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
               
                                               
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duales de los poliedros uniformes
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de la secuencia de poliedros y teselados con pentágonos y configuración de vértices (V3.3.3.3.n) (la secuencia progresa hasta teselar el plano hiperbólico para cualquier n). Estas figuras isoedrales tienen simetría rotacional (n32).

Mutaciones de simetría n32 de teselaciones romas: 3.3.3.3.n
Simetría
n32
Esférica Euclídea Hiperbólica compacta Paracomp.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
Figuras
romas
               
Config. 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞
Figuras
giroscópicas
               
Config. V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞

Véase también

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Referencias

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  1. Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Koc, Ramazon (2010). «Catalan Solids Derived From 3D-Root Systems and Quaternions». Journal of Mathematical Physics 51 (4). S2CID 115157829. arXiv:0908.3272. doi:10.1063/1.3356985. 
  2. Reference
  3. Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Al-Shu’eilic, Muna (2011). «Chiral Polyhedra Derived From Coxeter Diagrams and Quaternions». arXiv:1006.3149  [math-ph]. 
  4. «Pentagonal Hexecontahedron - Geometry Calculator». rechneronline.de. Consultado el 26 de mayo de 2020. 

Bibliografía

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Enlaces externos

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