Interior algebraico

En análisis funcional, una rama de las matemáticas, el interior algebraico o núcleo radial de un subconjunto de un espacio vectorial es un refinamiento del concepto de interior.

Definición

Supóngase que $A$ es un subconjunto de un espacio vectorial $X.$ El interior algebraico (o núcleo radial) de $A$ con respecto a $X$ es el conjunto de todos los puntos en los que $A$ es un conjunto radial. Un punto $a_{0}\in A$ se llama punto interno de $A$ ^[1]^[2] y se dice que $A$ es radial desde $a_{0}$ si por cada $x\in X$ existe un número real $t_{x}>0$ tal que por cada $t\in [0,t_{x}],$ $a_{0}+tx\in A.$ Esta última condición también se puede escribir como $a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A$ donde el conjunto

a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}

es el segmento rectilíneo (o intervalo cerrado) que comienza en $a_{0}$ y termina en $a_{0}+t_{x}x$ . Este segmento es un subconjunto de $a_{0}+[0,\infty )x,$ , que es el rayo que emana de $a_{0}$ en la dirección de $x$ (es decir, paralelo a/una traslación de $[0,\infty )x$ ).

Por lo tanto, geométricamente, un punto interior de un subconjunto $A$ es un punto $a_{0}\in A$ con la propiedad de que en cada dirección (vector) posible $x\neq 0,$ $A$ contiene algún segmento rectilíneo (no degenerado) que comienza en $a_{0}$ y se dirige en esa dirección (es decir, un subconjunto del rayo $a_{0}+[0,\infty )x$ ).

El interior algebraico de $A$ (con respecto a $X$ ) es el conjunto de todos esos puntos. Es decir, es el subconjunto de puntos contenidos en un conjunto dado respecto del cual los puntos del conjunto son radiales.^[3]

Si $M$ es un subespacio lineal de $X$ y $A\subseteq X$ , entonces esta definición se puede generalizar al interior algebraico de $A$ con respecto a $M$ es:^[4]

\operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ para todo }}m\in M,{\text{ existe algún }}t_{m}>0{\text{ tal que }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.

donde $\operatorname {aint} _{M}A\subseteq A$ siempre se cumple y si $\operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing$ , entonces $M\subseteq \operatorname {aff} (A-A),$ donde $\operatorname {aff} (A-A)$ es la envolvente afín de $A-A$ (que es igual a $\operatorname {span} (A-A)$ ).

Cierre algebraico

Se dice que un punto $x\in X$ es linealmente accessible de un subconjunto $A\subseteq X$ si existe algún $a\in A$ tal que el segmento rectilíneo $[a,x):=a+[0,1)x$ esté contenido en $A.$ ^[5]. El cierre algebraico de $A$ con respecto a $X$ , indicado por $\operatorname {acl} _{X}A,$ , consta de $A$ y todos los puntos en $X$ a los que se puede acceder linealmente desde $A.$ ^[5].

Interior algebraico (núcleo)

En el caso especial en el que $M:=X,$ , el conjunto $\operatorname {aint} _{X}A$ se denomina interior algebraico o núcleo de $A$ y se denota por $A^{i}$ o $\operatorname {\text{núcleo}} A.$ .

Formalmente, si $X$ es un espacio vectorial, entonces el interior algebraico de $A\subseteq X$ es^[6]

\operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {\text{núcleo}} (A):=\left\{a\in A:{\text{ para todo }}x\in X,{\text{ existe algún }}t_{x}>0,{\text{ tal que para todo }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.

Si $A$ no está vacío, entonces estos subconjuntos adicionales también son útiles para los enunciados de muchos teoremas en el análisis funcional convexo (como el teorema de Ursescu):

{}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un conjunto cerrado,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}

{}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{si }}\operatorname {expan} (A-a){\text{ es un subespacio lineal abarrilado de }}X{\text{ para cualquier/todo }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}

Si $X$ es un espacio de Fréchet, $A$ es convexo y $\operatorname {aff} A$ está cerrado en $X$ , entonces ${}^{ic}A={}^{ib}A$ pero en general es posible tener ${}^{ic}A=\varnothing$ mientras ${}^{ib}A$ es no vacío.

Ejemplos

Si $A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{o }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ , entonces $0\in \operatorname {\text{núcleo}} (A),$ pero $0\not \in \operatorname {int} (A)$ y $0\not \in \operatorname {\text{núcleo}} (\operatorname {{\text{núcleo}}(A)} ).$

Propiedades del núcleo

Supóngase que $A,B\subseteq X.$

En general, $\operatorname {\text{núcleo}} A\neq \operatorname {\text{núcleo}} (\operatorname {\text{núcleo}} A).$ Pero si $A$ es convexo, entonces:
- $\operatorname {\text{núcleo}} A=\operatorname {\text{núcleo}} (\operatorname {\text{núcleo}} A),$ y
- para todos los $x_{0}\in \operatorname {\text{núcleo}} A,y\in A,0<\lambda \leq 1$ y luego $\lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {\text{núcleo}} A.$
$A$ es un subconjunto absorbente de un espacio vectorial real si y solo si $0\in \operatorname {\text{núcleo}} (A).$ ^[3]
$A+\operatorname {\text{núcleo}} B\subseteq \operatorname {\text{núcleo}} (A+B)$ ^[7]
$A+\operatorname {\text{núcleo}} B=\operatorname {\text{núcleo}} (A+B)$ si $B=\operatorname {\text{núcleo}} B.$ ^[7]

Tanto el núcleo como el cierre algebraico de un conjunto convexo son nuevamente convexos.^[5] Si $C$ es convexo, $c\in \operatorname {\text{núcleo}} C,$ y $b\in \operatorname {acl} _{X}C$ , entonces el segmento rectilíneo $[c,b):=c+[0,1)b$ está contenido en $\operatorname {\text{núcleo}} C.$ ^[5]

Relación con el interior topológico

Sea $X$ un espacio vectorial topológico, $\operatorname {int}$ denota el operador interior y $A\subseteq X$ . Entonces:

$\operatorname {int} A\subseteq \operatorname {\text{núcleo}} A$
Si $A$ es convexo no vacío y $X$ es de dimensión finita, entonces $\operatorname {int} A=\operatorname {\text{núcleo}} A.$ ^[1]
Si $A$ es convexo con interior no vacío, entonces $\operatorname {int} A=\operatorname {\text{núcleo}} A.$ ^[8]
Si $A$ es un conjunto convexo cerrado y $X$ es un espacio métrico completo, entonces $\operatorname {int} A=\operatorname {\text{núcleo}} A.$ ^[9]

Interior algebraico relativo

Si $M=\operatorname {aff} (A-A)$ , entonces el conjunto $\operatorname {aint} _{M}A$ se denota por ${}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A$ y se llama el interior algebraico relativo de $A$ .^[7] Este nombre surge del hecho de que $a\in A^{i}$ si y solo si $\operatorname {aff} A=X$ y $a\in {}^{i}A$ (donde $\operatorname {aff} A=X$ si y solo si $\operatorname {aff} (A-A)=X$ ).

Interior relativo

Si $A$ es un subconjunto de un espacio vectorial topológico $X$ , entonces el interior relativo de $A$ es el conjunto

\operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.

Es decir, el interior topológico de A en $\operatorname {aff} A,$ es el subespacio lineal afín más pequeño de $X$ que contiene a $A.$ . El siguiente conjunto también es útil:

\operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{si }}\operatorname {aff} A{\text{ es un subespacio cerrado de }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{en caso contrario}}\end{cases}}

Interior cuasi relativo

Si $A$ es un subconjunto de un espacio vectorial topológico $X$ , entonces el interior cuasi relativo de $A$ es el conjunto

\operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{es un subespacio lineal de }}X\right\}.

En un espacio vectorial topológico de dimensión finita de Hausdorff, $\operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.$

Véase también

Referencias

↑ ^a ^b Aliprantis y Border, 2006, pp. 199–200.
↑ John Cook (21 de mayo de 1988). «Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces». Consultado el 14 de noviembre de 2012.
↑ ^a ^b Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe (2000). Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and ( $\mu ,\rho$ )-Portfolio Optimization.
↑ Zălinescu, 2002, p. 2.
↑ ^a ^b ^c ^d Narici y Beckenstein, 2011, p. 109.
↑ Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. ISBN 978-3-540-50584-6.
↑ ^a ^b ^c Zălinescu, 2002, pp. 2–3.
↑ Kantorovitz, Shmuel (2003). Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. p. 134. ISBN 9780198526568.
↑ Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, ISBN 9780387987057 ..

Bibliografía

Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (Third edición). Berlin: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC 262692874.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations (First edición). San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces (J). River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112.

Datos: Q4724006

[FOOTNOTEAliprantisBorder2006199–200-1] Aliprantis y Border, 2006, pp. 199–200.

[cook-2] John Cook (21 de mayo de 1988). «Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces». Consultado el 14 de noviembre de 2012.

[coherent-3] Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe (2000). Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and ( $\mu ,\rho$ )-Portfolio Optimization.

[FOOTNOTEZălinescu20022-4] Zălinescu, 2002, p. 2.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011109-5] Narici y Beckenstein, 2011, p. 109.

[6] Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. ISBN 978-3-540-50584-6.

[FOOTNOTEZălinescu20022–3-7] Zălinescu, 2002, pp. 2–3.

[kantorovitz-8] Kantorovitz, Shmuel (2003). Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. p. 134. ISBN 9780198526568.

[9] Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, ISBN 9780387987057 ..

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