En geometría analítica , la intersección entre una recta y una esfera puede resultar en uno de tres casos:
No hay intersección
Hay intersección en un punto
Hay intersección en dos puntos Los tres posibles casos de intersección entre una recta y una esfera. En el segundo caso, la recta es tangente a la esfera.
Existen varias circunstancias en las que es necesario distinguir entre estos tres casos y, en los últimos dos, calcular las coordenadas de los puntos de intersección. Por ejemplo, es común realizar este cálculo en el trazado de rayos .[ 1]
Si bien este artículo trata sobre la intersección entre una recta y una esfera en tres dimensiones, las ecuaciones que se muestran a continuación son válidas en cualquier número de dimensiones porque están escritas en forma vectorial.
La ecuación de una esfera es:
‖
x
−
c
‖
2
=
r
2
{\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
r
{\displaystyle r}
La ecuación de una línea recta es:
x
=
o
+
d
u
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {o} +d\mathbf {u} }
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
o
{\displaystyle \mathbf {o} }
d
{\displaystyle d}
o
{\displaystyle \mathbf {o} }
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
vector director de la rectaPara encontrar los puntos que están tanto en la recta como en la esfera hay que combinar las dos ecuaciones y despejar
d
{\displaystyle d}
Reemplazando la ecuación de la recta dentro de la ecuación de la esfera, y luego cambiando el cuadrado de la norma por un producto escalar , obtenemos:
‖
o
+
d
u
−
c
‖
2
=
r
2
⇔
(
o
+
d
u
−
c
)
⋅
(
o
+
d
u
−
c
)
=
r
2
{\displaystyle \left\Vert \mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}\Leftrightarrow (\mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} )=r^{2}}
Distribuyendo y reordenando los términos:
d
2
(
u
⋅
u
)
+
2
d
[
u
⋅
(
o
−
c
)
]
+
(
o
−
c
)
⋅
(
o
−
c
)
−
r
2
=
0
{\displaystyle d^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+2d[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]+(\mathbf {o} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )-r^{2}=0}
Se obtiene una ecuación cuadrática donde la incógnita es
d
{\displaystyle d}
a
d
2
+
b
d
+
c
=
0
{\displaystyle ad^{2}+bd+c=0}
Los coeficientes son:
a
=
u
⋅
u
=
‖
u
‖
2
{\displaystyle a=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}
b
=
2
[
u
⋅
(
o
−
c
)
]
{\displaystyle b=2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]}
c
=
(
o
−
c
)
⋅
(
o
−
c
)
−
r
2
=
‖
o
−
c
‖
2
−
r
2
{\displaystyle c=(\mathbf {o} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )-r^{2}=\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2}}
La solución de esta ecuación es:
d
=
−
2
[
u
⋅
(
o
−
c
)
]
±
(
2
[
u
⋅
(
o
−
c
)
]
)
2
−
4
‖
u
‖
2
(
‖
o
−
c
‖
2
−
r
2
)
2
‖
u
‖
2
=
−
[
u
⋅
(
o
−
c
)
]
±
(
u
⋅
(
o
−
c
)
)
2
−
‖
u
‖
2
(
‖
o
−
c
‖
2
−
r
2
)
‖
u
‖
2
{\displaystyle d={\frac {-2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {(2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )])^{2}-4\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})}}}{2\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}}={\frac {-[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {(\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} ))^{2}-\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})}}}{\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}}}
En el caso específico de que
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
vector unitario , es decir
‖
u
‖
2
=
1
{\displaystyle \left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}=1}
u
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
d
=
−
[
u
⋅
(
o
−
c
)
]
±
(
u
⋅
(
o
−
c
)
)
2
−
‖
o
−
c
‖
2
+
r
2
{\displaystyle d=-[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {(\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} ))^{2}-\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}+r^{2}}}}
Y llamando
∇
{\displaystyle \nabla }
discriminante :
∇
=
[
u
^
⋅
(
o
−
c
)
]
2
−
‖
o
−
c
‖
2
+
r
2
{\displaystyle \nabla =[{\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]^{2}-\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}+r^{2}}
d
=
−
[
u
^
⋅
(
o
−
c
)
]
±
∇
{\displaystyle d=-[{\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {\nabla }}}
El valor del discriminante permite determinar cual de los tres casos se cumple:
Si
∇
<
0
{\displaystyle \nabla <0}
d
{\displaystyle d}
Si
∇
=
0
{\displaystyle \nabla =0}
Si
∇
>
0
{\displaystyle \nabla >0}
Finalmente, en los casos 2 y 3, los puntos de intersección se pueden calcular reemplazando los valores obtenidos de
d
{\displaystyle d}
↑ Eberly, David H. (2006). 3D game engine design: a practical approach to real-time computer graphics, 2nd edition . Morgan Kaufmann. p. 698. ISBN 0-12-229063-1 
![{\displaystyle d^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+2d[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]+(\mathbf {o} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )-r^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f56f594183c77e637ac6a02272408f56288ca0)
![{\displaystyle b=2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d92287b4c21fb5829a729083d709e52a9d5b205)
![{\displaystyle d={\frac {-2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {(2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )])^{2}-4\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})}}}{2\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}}={\frac {-[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {(\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} ))^{2}-\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})}}}{\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27feaa7ac7724eee0282e833af763547b74c6a82)
![{\displaystyle d=-[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {(\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} ))^{2}-\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}+r^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16af1849a0816810901206860f9f616d193098e)
![{\displaystyle \nabla =[{\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]^{2}-\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}+r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1c500211f994f224814381d5c1aa1e57b16f17)
![{\displaystyle d=-[{\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {\nabla }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7480cf22d28504097ca4a193c0f7010082b34735)
