La variación cuadrática

En matemáticas, la descomposición de Gundy, en rasgos generales, demuestra que una martingala acotada puede ser escrita (y, por tanto, descomponerse), en suma de tres martingalas diferentes, las cuales, presentan propiedades específicas y cotas concretas. Al igual que la descomposición de Calderón-Zygmund, la variación cuadrática es considerada una técnica probabilística con relevante aplicación en el campo del análisis matemático.

Contextualización y notación del teorema

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En los últimos dos siglos, el uso de técnicas probabilísticas se ha convertido en un recurso especialmente útil en diversas ramas del análisis. En particular, la descomposición de Gundy es una herramienta del análisis probabilístico utilizada para demostrar resultados de acotación débil-(1,1) para una función integrable en un espacio de probabilidad.

Sea   un espacio de probabilidad con una filtración asociada  . Para toda función  , utilizando el operador esperanza condicionada, podemos definir una sucesión de funciones medibles   que satisfacen la propiedad de martingala.

Con abuso de notación, designaremos por   a dicha secuencia de variables aleatorias   definidas en el mismo espacio de probabilidad   con la misma filtración asociada  . La variable aleatoria   es medible con respecto   para cada  .

Además, definimos   como la secuencia de incrementos   (también conocida como secuencia de diferencias de martingala), de modo que  .

Denotamos la norma de la martingala  , donde   es la norma   habitual de la variable aleatoria  , para  .

Denotaremos   como una constante real positiva, no siempre con el mismo valor en cada una de las líneas.

Las secuencias de variables aleatorias se agregarán de manera natural: consideremos   dos secuencias de variables aleatorias, entonces  . Por último,   designará la función maximal aplicada a la martingala.

La descomposición de Gundy

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Sea  . Para cualquier valor real  , la martingala asociada a   puede descomponerse en tres martingalas   de la siguiente manera:

  es una martingala acotada en   que cumple:

  •  .
  •  , donde   es una constante positiva real.
  • La secuencia de incrementos   satisface que  .

  es absolutamente convergente y tiene las siguientes propiedades:

  •  .
  •  .

  está uniformemente acotada y satisface las siguientes estimaciones:

  •  .
  •  .
  •  .
  •  .

Demostración

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Primero, podemos asumir que   es una martingala no negativa, ya que toda martingala acotada en  , se puede escribir como la suma de dos martingalas no negativas,  , con  .

Ahora, consideremos los siguientes tiempos de parada:

  • Primero, para todo  , definimos  . A partir de este tiempo de parada, consideremos la secuencia de variables aleatorias  , donde recordamos que   es la secuencia de diferencias  -simas de la martingala  , que satisface  .
  • Definimos el segundo tiempo de parada,  , como  .
  • Finalmente, consideramos  .

Observamos en primera instancia que :

 

Ahora definimos   como la martingala truncada en  . Esto significa que  , donde  . Definiendo  , entonces  , donde  .
Claramente,   y  .
Por lo tanto, la martingala   cumple los requisitos del teorema.

Veamos ahora la martingala  .

Para cada término   se tiene

 

Podemos dividir la expresión anterior de la siguiente manera:

 

donde las variables aleatorias   están definidas como   y las variables   tal que  

Para  ,

 

Por lo tanto, para cada   podemos expresar

 

como la suma de dos secuencias   donde

 

y

 

Procedemos a demostrar que tanto   como   son martingalas. Es claro que ambas son medibles con respecto a la filtración considerada. Debemos verificar que   y  .

Para la secuencia  :

 

De manera análoga, se obtiene el resultado para  .

A continuación, mostraremos que   y   satisfacen las propiedades enunciadas.

Observamos que

 

es absolutamente convergente, ya que

 

Ahora estudiaremos la martingala  . Para cada  ,

 

Para todo  ,

 

Además,

 

Por lo tanto, combinando ambos resultados,

 

También tenemos que

 

y

 

Entonces, concluimos que para todo  ,

 

Finalmente, combinando las estimaciones anteriores, obtenemos que

 

Aplicaciones

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La descomposición de Gundy ha sido empleada en varias ramas del análisis como herramienta fundamental para demostrar teoremas y proposiciones.

Sin embargo, es mayormente conocida en el campo del análisis matemático. En particular, la descomposición de Gundy permite estudiar de una manera más simple acotaciones para operadores en un espacio de Lebesgue (espacios Lp). Además, la idea intuitiva puede ser también escalada para martingalas que toman valores en espacios de Banach separables, convirtiéndola, pues, en un básico de la teoría moderna del análisis.

Como ejemplo, el teorema de la descomposición de Gundy se utiliza para demostrar una cota de tipo débil (1,1) para operadores de clase  .

Operadores de clase B

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Se define un operador de clase   a toda función   que cumple:

  • Su dominio es una colección de secuencias de variables aleatorias cerrada bajo la suma.
  • Su rango es una colección de variables aleatorias.

El operador satisface las siguientes inecuaciones:

  •  .
  •  .
  •  .
  • Si   donde  , entonces  .

El teorema de la descomposición de la variación cuadrática es una herramienta fundamental para demostrar que dichos operadores son de tipo débil-(1,1). El resultado formal se enuncia a continuación:

Sea   una martingala acotada en   y sea   un operador que pertenece a la clase  . Entonces, para   real, se tiene:

 

Véase también

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  • Para consultar otro ejemplo de descomposición, en este caso aplicado al caso  , consultar la descomposición de Calderón-Zygmund [1]

Referencias

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Burkholder, D. L. (1966). Martingale transforms. The Annals of Mathematical Statistics, 37(6), 1494-1504.1

Gundy, R. (1969). On the class LlogL, martingales, and singular integrals. Studia Mathematica, 1(33), 109-118.2

Burkholder, D. L. (1973). Distribution function inequalities for martingales. the Annals of Probability, 1(1), 19-42.3