Convergencia absoluta

En matemáticas, una serie (o a veces una integral) de números se dice que converge absolutamente si la suma de los valores absolutos de los términos (o integrandos) es finita.

Definición formal

Se dice que la serie $\sum {a_{n}}$ es absolutamente convergente si la serie $\sum {\left\vert a_{n}\right\vert }$ es convergente .

Convergencia absoluta y convergencia

$\sum {a_{n}}$ es absolutamente convergente $\Longrightarrow \sum {a_{n}}$ es convergente .

Demostración

Supongamos que $\sum |a_{n}|$ converge por hipótesis. $-|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|\quad \forall n\in \mathbb {N}$ Sumamos $|a_{n}|$ término a término en la desigualdad: $|a_{n}|-|a_{n}|\leq a_{n}+|a_{n}|\leq |a_{n}|+|a_{n}|\Longrightarrow 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|\quad \forall n\in \mathbb {N}$$\Longrightarrow 0\leq \sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}+|a_{n}|)}\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }{|a_{n}|}$ Por tanto, $\sum {(a_{n}+|a_{n}|)}$ es convergente. Ahora se considera que $a_{n}=a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|\quad \forall n\in \mathbb {N}$. $\Longrightarrow \sum {a_{n}}=\sum {(a_{n}+|a_{n}|-|a_{n}|)}=\sum {(a_{n}+|a_{n}|)}-\sum {|a_{n}|}$ Entonces, $\sum {a_{n}}$ es convergente por ser diferencia de series convergentes.

Convergencia condicional

Se dice que la serie $\sum {a_{n}}$ es condicionalmente convergente cuando es convergente pero no absolutamente convergente.

Esto sucede cuando $\sum {|a_{n}|}$ es divergente.

Por ejemplo, la serie $\sum {(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}}$ es condicionalmente convergente porque $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}}=\log(2)$, mientras que $\sum _{n=1}^{\infty }{\left\vert (-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\right\vert }=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=+\infty$.

Teorema de reordenación de Riemann

Sea $\{a_{n}\}$ una sucesión de números reales tal que la serie $\sum {a_{n}}$ sea condicionalmente convergente. Entonces: 1)$\forall M\in \mathbb {R}$ existe una permutación $\sigma$ tal que $\sum _{n=0}^{\infty }{a_{\sigma (n)}}=M$. 2) existe una permutación $\tau$ tal que $\sum _{n=0}^{\infty }{a_{\tau (n)}}=\infty$.

Véase también

• Serie convergente
• Serie matemática
• Convergencia (matemáticas)
• Integral impropia

• Datos: Q332465