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Matriz hermitiana

elemento algebraico matricial complejo igual a su traspuesto conjugado
(Redirigido desde «Matriz hermítica»)

Una matriz hermitiana (o hermítica, en honor a Charles Hermite) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

Por ejemplo,

es una matriz hermítica.

PropiedadesEditar

  1. Sea  , donde   es hermitiana y   y   reales, entonces   es simétrica ( ) y   antisimétrica ( ).
  2. La inversa de una matriz hermitiana es también hermitiana, siempre y cuando la matriz inicial sea inversible ( det(A)≠0 ).
  3. En relación con la propiedad 1, los autovalores de estas matrices son reales.
  4. En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
  5. El determinante de una matriz hermitiana es un número real.

Diagonalización de matrices hermíticasEditar

Sea   Hermítica, es decir  . Entonces   es diagonalizable unitariamente. O sea, se la puede descomponer de la siguiente manera:

 

En donde:

  1.   es una matriz unitaria y el conjunto   es ortonormal y está formado por autovectores de   asociados a sus respectivos autovalores. Estos vectores deben ir en orden, respecto de sus autovalores.
  2.   una matriz diagonal formada con autovalores de   (todos reales)

PropiedadesEditar

  •   es unitaria si y sólo si   lo que implica que son ortogonales, es decir,   para todo i distinto de j, y si i es igual a j entonces  . Donde   es el producto interno canónico en  .
Entonces el conjunto   es una base ortonormal de  . Observar que la implicación de que el producto interno de 1 si coinciden los subíndices, implica que   es un conjunto ortonormal.
Caso particular: cuando la matriz unitaria cumple además   (observar que se trata sólo del caso real), entonces ocurre que  . En este caso la matriz   se dice involutiva y está asociada a una reflexión respecto de un plano. Ver transformación de Householder
  • Analicemos el siguiente caso suponiendo  . O sea   autovalor de   asociado al autovector  :
 
De donde
 
  • Sean   autovectores de la matriz Hermítica   asociados a los autovalores   respectivamente. Supongamos que al menos, existe un par de estos últimos distintos, es decir,   para algún par  . Entonces  . Es decir, autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales
 
De donde
 

EjemplosEditar

1) Sea   una matriz real simétrica (caso particular de Hermítica, con Imag(A) = 0). Entonces, se ve que   es autovalor de   asociado al autovector  , es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es  

El otro autovalor es   asociado al autovector  , es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es  

Como se puede ver,  ; es decir, son ortogonales. O sea  

La descomposición de la matriz es:

 

O si no:

 

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar