Número extraño

número abundante que no es semiperfecto

En teoría de números, un número extraño (o también número raro) es un número natural que es abundante pero no semiperfecto.[1][2]​ En otras palabras, la suma de los divisores del número (que por definición, incluyen al 1 pero no a sí mismo), es mayor que el número, pero ningún subconjunto de estos divisores suma el propio número.

EjemplosEditar

El número extraño más pequeño es 70. Sus divisores propios son 1, 2, 5, 7, 10, 14 y 35; estos suman 74, pero ningún subconjunto de estas sumas da 70. El número 12, por ejemplo, es abundante pero no es extraño, porque los divisores propios de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6, que suman 16; pero 2 + 4 + 6 = 12.

Los primeros números extraños son

70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, ...

(sucesión A006037 en OEIS).

PropiedadesEditar

Problemas no resueltos de la matemática: ¿Hay números extraños impares?

Existe una cantidad infinita de números extraños.[3]​ Por ejemplo, 70p es extraño para todo primes p ≥ 149. De hecho, el conjunto de los números extraños tiene densidad asintótica positiva.[4]

No se sabe si existen números extraños impares. Si es así, deben ser mayores que 1021.[5]

Sidney Kravitz ha demostrado que para un número entero positivo k, un número primo Q superior a 2k y

 

también primo y mayor que 2k, entonces

 

es un número extraño.[6]​ Con esta fórmula, encontró el gran número extraño

 

Números extraños primitivosEditar

Una propiedad de los números extraños es que si n es raro, y p es un número primo mayor que la suma de divisores σ(n), entonces pn también es extraño.[4]​ Esto lleva a la definición de números extraños primitivos, es decir, números extraños que no son un múltiplo de otros números extraños (sucesión A002975 en OEIS). Solo hay 24 números extraños primitivos menores de un millón, en comparación con 1765 números extraños hasta ese límite. La construcción de Kravitz produce números extraños primitivos, ya que todos los números extraños de la forma   son primitivos, pero no se garantiza la existencia de un número infinito de parejas k y Q que produzcan un R primo. Se ha conjeturado que existen infinitos números extraños primitivos, y Melfi ha demostrado que la infinidad de números extraños primitivos es una consecuencia de la conjetura de Cramér.[7]​ Se han encontrado números extraños primitivos con hasta 16 factores primos y 14712 dígitos.[8]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Benkoski, Stan (August–September 1972). «E2308 (in Problems and Solutions)». The American Mathematical Monthly 79 (7): 774. JSTOR 2316276. doi:10.2307/2316276. 
  2. Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer Science+Business Media. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248.  Section B2.
  3. Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer Science+Business Media. pp. 113-114. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300. 
  4. a b Benkoski, Stan; Erdős, Paul (April 1974). «On Weird and Pseudoperfect Numbers». Mathematics of Computation 28 (126): 617-623. MR 347726. Zbl 0279.10005. doi:10.2307/2005938. 
  5. (sucesión A006037 en OEIS) Números extraños: abundantes (A005101) pero no pseudoperfectos (A005835) -- comentarios sobre números extraños impares.
  6. Kravitz, Sidney (1976). «A search for large weird numbers». Journal of Recreational Mathematics (Baywood Publishing) 9 (2): 82-85. Zbl 0365.10003. 
  7. Melfi, Giuseppe (2015). «On the conditional infiniteness of primitive weird numbers». Journal of Number Theory (Elsevier) 147: 508-514. doi:10.1016/j.jnt.2014.07.024. 
  8. Amato, Gianluca; Hasler, Maximilian; Melfi, Giuseppe; Parton, Maurizio (2019). «Primitive abundant and weird numbers with many prime factors». Journal of Number Theory (Elsevier) 201: 436-459. arXiv:1802.07178. doi:10.1016/j.jnt.2019.02.027. 

Enlaces externosEditar