Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

Desarrollando en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:

Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por Ln(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general .

DefiniciónEditar

El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:

 

Que tras desarrollar queda de la forma:

 

algunos de estos polinomios son:

n  
0  
1  
2  
3  
4  
5  
6  

Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:

 

Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.

Función generatrizEditar

La función generatriz de los polinomios de Laguerre viene dada por:

 

Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:

 

Que sabiendo que  , y después de reagrupar queda de la forma:

 

Relaciones de recurrenciaEditar

A partir de la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:

 

Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puede utilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.

OrtogonalidadEditar

Los polinomios de Laguerre son ortogonales según el producto escalar:

 

Siendo   la delta de Kronecker. No obstante podemos definir las funciones:

 

Que claramente son ortonormales respecto del producto escalar ordinario:

 

Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la ecuación diferencial que nos da estas funciones como solución:

 

Polinomios asociados de LaguerreEditar

También llamados polinomios de Laguerre generalizados, son polinomios que cumplen la siguiente ecuación diferencial:

 

DefiniciónEditar

Quedan definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Laguerre:

 

Aunque en ocasiones puede resultar ventajosa la siguiente definición:

 

Puede comprobarse que para m > n el polinomio asociado correspondiente vale 0. Asimismo, salta a la vista que  .

Derivando, según la definición se obtiene:

 

Función generatriz y relaciones de recurrenciaEditar

La función generatriz viene dada por:

 

De la que se derivan las relaciones de recurrencia que cumplen; algunas de las cuales son las siguientes:

 
 
 
 
 

OrtogonalidadEditar

Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales respecto la función peso  . Se cumple que:

 

Otra relación de importancia que cumplen es la siguiente:

 


Donde   es la función Gamma.

Como con los polinomios de Laguerre, se encuentra que las siguientes funciones son ortonormales respecto de la función peso 1:

 

Son de importancia en mecánica cuántica otras que son ortonormales respecto de la función peso   (debido a la forma que toma la integral de volumen en coordenadas esféricas) que surgen como solución a la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo hidrogenoide. Estas funciones son las siguientes:

 

En general las funciones construidas de la forma:

 

Son ortogonales respecto de la función peso   y son solución de la ecuación:

 

Relación con los polinomios de HermiteEditar

Los polinomios de Laguerre se relacionan con los polinomios de Hermite como sigue:

 

 

Véase tambiénEditar

ReferenciaEditar