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Factor comúnEditar

 
Visualización de la regla de factor común. Forma un nomon.

El resultado de multiplicar un binomio   por un término   se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

 

En la figura adjunta se observa que el área del rectángulo es  , es decir, el producto de la base   por la altura  , también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas:   y  

Cuadrado de un binomioEditar

 
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término más el doble del producto de ellos, dando:

 
Demostración
     

La expresión siguiente:   se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

 
Demostración
     

Fórmula no recomendable cuando no se omite el caso   en   induciendo en abundantes errores.

El caso    .

Finalmente  .

Ejemplo:

 

Simplificando:

 

Producto de binomios con un término comúnEditar

Dos binomios con un término comúnEditar

 
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.

Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:

 
Demostración
     

Ejemplo:

 
 

Tres binomios con término comúnEditar

Fórmula general:

 

Binomios con un término comúnEditar

Fórmula general:

               

Producto de dos binomios conjugadosEditar

 
Producto de binomios conjugados.

Dos binomios conjugados se diferencian solo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

 

Ejemplo:

 
 

Agrupando términos:

 

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

  • En el caso  ,[n 1]​ aparecen polinomios.

Cuadrado de un polinomioEditar

 
Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

 
 

Ejemplo:

 

Multiplicando los monomios:

 
 
 

Agrupando términos:

 

Luego:

 
Romper moldes
 .[n 2]

Cubo de un binomioEditar

 
Descomposición volumétrica del binomio al cubo.

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

  • El cubo del primer término.
  • El triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
  • El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
  • El cubo del segundo término.
 

Identidades de Cauchy:

 

Ejemplo:

 

Agrupando términos:

 

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:

  • El cubo del primer término.
  • Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
  • Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
  • Menos el cubo del segundo término.
 

Identidades de Cauchy:

 

Ejemplo:

 

Agrupando términos:

 

Identidad de ArgandEditar

 

Identidades de GaussEditar

 
 

Identidades de LegendreEditar

 
 
 

Identidades de LagrangeEditar

 
 

Otras identidadesEditar

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan:

Adición de cubos:

 

Diferencia de cubos:

 


Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).

 
 

La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enésimas (o n - ésimas: xn).

Suma de dos cuadrados

 

Dónde i es la unidad imaginaria (√-1)

Demostración
 

Suma de potencias enésimas:

Si –sólo si– n es impar,  

Diferencia de potencias enésimas:

 

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.

Para representar el cubo de un monomio, como diferencia de dos cuadrados, existe una fórmula[n 3]​ ingeniosa:

 

Véase tambiénEditar

NotasEditar

  1. Ya no se está ante binomios conjugados. El nombre clásico e histórico es «diferencia de cuadrados».
  2. Hay que multiplicar en el primer miembro. Luego tantear y poner como el cuadrado de un trinomio.
  3. En Aritmética elemental de Enzo Gentile, hay un problema con su respectiva sugerencia

ReferenciasEditar

  1. Baldor, Aurelio (19 de junio de 1941). «VI». Álgebra de Baldor. Grupo Editoria mierdin l Patria. p. 97. 

BibliografíaEditar