Símbolo nabla

Nabla es un símbolo triangular que se asemeja a la letra griega delta invertida:^[1] $\nabla$ o ∇. El nombre proviene, debido a la forma del símbolo, de la palabra koiné (νάβλα) usada para nombrar al arpa fenicia,^[2]^[3] y fue sugerido por el enciclopedista William Robertson Smith en una carta de 1870 a Peter Guthrie Tait.^[2]^[4]^[5]^[6]^[7]

El símbolo nabla está disponible en HTML estándar como ∇ y en LaTeX como \nabla. En Unicode, es el carácter en punto de código U+2207, o 8711 en la notación del sistema de numeración decimal, en el bloque de los operadores matemáticos.

En la bibliografía en inglés también se denomina del.

Historia

El arpa, el instrumento que da nombre al símbolo nabla

El operador diferencial dado en coordenadas cartesianas $\{x,y,z\}$ en el espacio euclídeo tridimensional por

\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}

fue introducido en 1837 por el matemático y físico irlandés William Rowan Hamilton, quien lo representó como ◁.^[8] (Los vectores unitarios $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ eran originalmente los vectores unitarios en los cuaterniones de Hamilton). Las matemáticas del operador ∇ recibieron su exposición completa de la mano de Peter Guthrie Tait.^[9]^[10]

Después de recibir la sugerencia de Smith, Tait y James Clerk Maxwell se refirieron al operador como nabla en su extensa correspondencia privada, aunque la mayoría de estas referencias son de carácter humorístico: Vida y obra científica de Peter Guthrie Tait de C. G. Knott (p. 145):^[5]

Probablemente fue esta renuencia por parte de Maxwell a utilizar el término Nabla en escritos serios, lo que impidió a Tait introducir la palabra antes que él. El único uso publicado de la palabra por Maxwell está en el título de su humorística Oda Tyndallic, que está dedicada al "músico principal de Nabla", es decir, Tait.

William Thomson (Lord Kelvin) introdujo el término a una audiencia estadounidense en una conferencia de 1884,^[2] cuyas notas se publicaron en Gran Bretaña y Estados Unidos en 1904.^[11]

El nombre es reconocido y criticado por Oliver Heaviside en 1891:^[12]

El vector ficticio ∇ dado por

$\nabla =\mathbf {i} \nabla _{1}+\mathbf {j} \nabla _{2}+\mathbf {k} \nabla _{3}=\mathbf {i} {\frac {d}{dx}}+\mathbf {j} {\frac {d}{dy}}+\mathbf {k} {\frac {d}{dz}}$
es muy importante. Las matemáticas físicas son en gran medida las matemáticas de ∇. El nombre nabla parece, por lo tanto, ridículamente ineficiente.

El desarrollo de la versión del cálculo vectorial más popular en la actualidad se les atribuye (de forma independiente) a Heaviside y a Josiah Willard Gibbs.^[13]

El influyente texto de 1901 Vector Analysis, escrito por Edwin Bidwell Wilson y basado en las conferencias de Gibbs, defiende el nombre "del":^[14]

El símbolo del operador ∇ fue introducido por Sir W. R. Hamilton, y desde entonces ha adquirido un uso universal. Sin embargo, no parece haber ningún nombre universalmente reconocido para él, aunque debido a la frecuente aparición del símbolo, algún nombre es una necesidad práctica. Se ha descubierto por experiencia que el monosílabo "del" es tan corto y fácil de pronunciar que incluso en fórmulas complicadas en las que ∇ aparece varias veces, la repetición no genera inconvenientes para el hablante ni para el oyente. ∇V se lee simplemente como "del V".

Este libro es responsable de la forma en que actualmente se expresan las matemáticas del operador en cuestión, sobre todo en los libros de texto universitarios de física, y especialmente de electrodinámica.

Usos modernos

La nabla se utiliza en cálculo vectorial como parte de tres operadores diferenciales distintos: gradiente (∇), divergencia (∇⋅) y rotacional (∇×). El último de ellos utiliza el producto vectorial y, por lo tanto, solo tiene sentido en tres dimensiones. Los dos primeros son completamente generales. Todos ellos fueron estudiados originalmente en el contexto de la teoría clásica del electromagnetismo, y los planes de estudio de física de las universidades contemporáneas suelen tratar el material utilizando de forma aproximada los conceptos y la notación que se encuentran en el "Análisis vectorial" de Gibbs y Wilson.

El símbolo también se utiliza en geometría diferencial para indicar una conexión.

Un símbolo con la misma forma, aunque presumiblemente no relacionado temáticamente, aparece en otras áreas, como por ejemplo:

Como la relación todos, particularmente en retículos.
Como el operador de diferencia hacia atrás, en el cálculo de diferencias finitas.
Como operador de ampliación, un operador que permite que el análisis estático de programas finalice en un tiempo finito, en el campo de las ciencias de la computación de interpretación abstracta.
Como marcador de definición de función y autorreferencia (recursión) en el lenguaje de programación APL.
Como indicador de indeterminación en lógica filosófica.^[15]
En arquitectura naval (diseño de buques), para designar el volumen de desplazamiento de un buque o cualquier otra embarcación marítima; el delta gráficamente similar se utiliza para designar el desplazamiento de peso (el peso total del agua desplazada por el barco). Por lo tanto $\nabla =\Delta /\rho$ , donde $\rho$ es la densidad del agua de mar.

Véase también

Nabla, tratando las matemáticas del operador diferencial vectorial
Anexo:Tabla en coordenadas cilíndricas y esféricas
Gradiente (grad), divergencia (div) y rotacional (rot), operadores diferenciales definidos mediante nabla
Historia de los cuaterniones
Notación de la diferenciación
Derivada covariante, también conocida como conexión
Nevel^[7]

Referencias

↑ De hecho, se denomina anadelta (ανάδελτα) en griego moderno.
↑ ^a ^b ^c «nabla». Oxford English Dictionary (2.ª edición). Oxford University Press. 1989.
↑ «νάβλα». Liddell, Henry George; Scott, Robert; A Greek–English Lexicon en el Proyecto Perseus..
↑ Carta de Smith a Tait, 10 de noviembre de 1870:
Mi querido señor: El nombre que propongo para ∇ es, como recordará, Nabla... En griego la forma principal es ναβλᾰ... En cuanto a lo que es una especie de arpa y Hieronymus y otras autoridades dicen que tenía la figura de ∇ (una Δ invertida).
Citado en la entrada del Oxford English Dictionary "nabla".
↑ ^a ^b Cargill Gilston Knott (1911). Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait. Cambridge University Press.
↑ «History of Nabla».
↑ ^a ^b En particular, a veces se afirma que proviene del hebreo nevel (נֶבֶל)—como en el Libro de Isaías, capítulo 5, frase 12: "וְהָיָה כִנּוֹר וָנֶבֶל תֹּף וְחָלִיל וָיַיִן מִשְׁתֵּיהֶם וְאֵת פֹּעַל יְהוָה לֹא יַבִּיטוּ וּמַעֲשֵׂה יָדָיו לֹא רָאוּ"—, pero esta etimología es errónea; el griego νάβλα proviene del fenicio del que נֶבֶל es afín. Véase: «nable». Oxford English Dictionary (2.ª edición). Oxford University Press. 1989.
↑ W. R. Hamilton, "On Differences and Differentials of Functions of Zero," Trans. R. Irish Acad. XVII:235–236 esp. 236 (1837)
↑ Knott, pp. 142–143: "Sin embargo, sin duda, el gran trabajo de Tait fue el desarrollo del poderoso operador ∇. Hamilton presentó este operador diferencial en su forma de trinomio semicartesiano en la página 610 de sus Conferencias y señaló sus efectos tanto en un escalar como en una cantidad vectorial... Sin embargo, ni en las "Conferencias" ni en los "Elementos" se desarrolla la teoría, como lo hizo Tait en la segunda edición de su libro (∇ es poco más que lo mencionado en la primera edición) y mucho más completamente en la tercera y última edición."
↑ Peter Guthrie Tait (1890) An elementary treatise on quaternions, edition 3 vía Internet Archive
↑ William Thomson, Lord Kelvin (1904). Baltimore Lectures on Molecular Dynamics and the Wave Theory of Light. «Me tomé la libertad de preguntarle al profesor Ball hace dos días si tenía un nombre para este símbolo ∇², y me mencionó nabla, una sugerencia humorística de Maxwell. Es el nombre de un arpa egipcia, que tenía esa forma. No sé si es un mal nombre. El laplaciano no me gusta por varias razones tanto históricas como fonéticas. [Ene. 22 1892. Desde 1884 no he encontrado nada mejor y ahora lo llamo laplaciano.]». Mientras esto estaba siendo escrito, parece estar nombrando al operador laplaciano ∇² "nabla", pero en la conferencia presumiblemente se refería al ∇ mismo.
↑ Heaviside (1891), On the Forces, Stresses, and Fluxes of Energy in the Electromagnetic Field. Printed in Philosophical Transactions of the Royal Society, 1892.
↑ Michael J. Crowe (1967). A History of Vector Analysis.
↑ Gibbs; Wilson (1901). Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs by Edwin Bidwell Wilson.
↑ For example, in Anthony Everett (2013), The Nonexistent, p. 210:
Se pueden representar casos de esta forma, casos en los que es indeterminado si en la ficción f: a=b, de la siguiente manera:
(A) ∇[^f a= b]^f.
Aquí, los corchetes y el superíndice f juntos sirven para denotar ficticio; así el nabla dice "Es indeterminado si", y el resto dice "a=b (ficticiamente)".

Enlaces externos

Arnold Neumaier (2004). «History of Nabla».
Arnold Neumaier (26 de enero de 1998). Cleve Moler, ed. «History of Nabla». NA Digest, Volume 98, Issue 03. netlib.org.
Miller, Jeff. «Earliest Uses of Symbols of Calculus».
Tai, Chen. Un estudio sobre el uso inadecuado de ∇ en el análisis vectorial (1994).

Datos: Q937750
Multimedia: Nabla / Q937750

[anadelta-1] De hecho, se denomina anadelta (ανάδελτα) en griego moderno.

[OED-2] «nabla». Oxford English Dictionary (2.ª edición). Oxford University Press. 1989.

[3] «νάβλα». Liddell, Henry George; Scott, Robert; A Greek–English Lexicon en el Proyecto Perseus..

[Smith-4] Carta de Smith a Tait, 10 de noviembre de 1870:
Mi querido señor: El nombre que propongo para ∇ es, como recordará, Nabla... En griego la forma principal es ναβλᾰ... En cuanto a lo que es una especie de arpa y Hieronymus y otras autoridades dicen que tenía la figura de ∇ (una Δ invertida).
Citado en la entrada del Oxford English Dictionary "nabla".

[Knott-5] Cargill Gilston Knott (1911). Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait. Cambridge University Press.

[Neumaier-6] «History of Nabla».

[nabel-7] En particular, a veces se afirma que proviene del hebreo nevel (נֶבֶל)—como en el Libro de Isaías, capítulo 5, frase 12: "וְהָיָה כִנּוֹר וָנֶבֶל תֹּף וְחָלִיל וָיַיִן מִשְׁתֵּיהֶם וְאֵת פֹּעַל יְהוָה לֹא יַבִּיטוּ וּמַעֲשֵׂה יָדָיו לֹא רָאוּ"—, pero esta etimología es errónea; el griego νάβλα proviene del fenicio del que נֶבֶל es afín. Véase: «nable». Oxford English Dictionary (2.ª edición). Oxford University Press. 1989.

[Hamilton-8] W. R. Hamilton, "On Differences and Differentials of Functions of Zero," Trans. R. Irish Acad. XVII:235–236 esp. 236 (1837)

[Knott2-9] Knott, pp. 142–143: "Sin embargo, sin duda, el gran trabajo de Tait fue el desarrollo del poderoso operador ∇. Hamilton presentó este operador diferencial en su forma de trinomio semicartesiano en la página 610 de sus Conferencias y señaló sus efectos tanto en un escalar como en una cantidad vectorial... Sin embargo, ni en las "Conferencias" ni en los "Elementos" se desarrolla la teoría, como lo hizo Tait en la segunda edición de su libro (∇ es poco más que lo mencionado en la primera edición) y mucho más completamente en la tercera y última edición."

[10] Peter Guthrie Tait (1890) An elementary treatise on quaternions, edition 3 vía Internet Archive

[Kelvin-11] William Thomson, Lord Kelvin (1904). Baltimore Lectures on Molecular Dynamics and the Wave Theory of Light. «Me tomé la libertad de preguntarle al profesor Ball hace dos días si tenía un nombre para este símbolo ∇², y me mencionó nabla, una sugerencia humorística de Maxwell. Es el nombre de un arpa egipcia, que tenía esa forma. No sé si es un mal nombre. El laplaciano no me gusta por varias razones tanto históricas como fonéticas. [Ene. 22 1892. Desde 1884 no he encontrado nada mejor y ahora lo llamo laplaciano.]». Mientras esto estaba siendo escrito, parece estar nombrando al operador laplaciano ∇² "nabla", pero en la conferencia presumiblemente se refería al ∇ mismo.

[Heaviside-12] Heaviside (1891), On the Forces, Stresses, and Fluxes of Energy in the Electromagnetic Field. Printed in Philosophical Transactions of the Royal Society, 1892.

[Crowe-13] Michael J. Crowe (1967). A History of Vector Analysis.

[14] Gibbs; Wilson (1901). Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs by Edwin Bidwell Wilson.

[phil-15] For example, in Anthony Everett (2013), The Nonexistent, p. 210:
Se pueden representar casos de esta forma, casos en los que es indeterminado si en la ficción f: a=b, de la siguiente manera:
(A) ∇[^f a= b]^f.
Aquí, los corchetes y el superíndice f juntos sirven para denotar ficticio; así el nabla dice "Es indeterminado si", y el resto dice "a=b (ficticiamente)".

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