Teorema de F. Riesz

El teorema de F. Riesz (llamado así por el matemático húngaro Frigyes Riesz (1880-1956)) es una proposición importante en análisis funcional, que establece que un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto. El teorema y sus consecuencias se utilizan de forma ubicua en el análisis funcional, a menudo sin mencionarlo explícitamente.

Enunciado

En primer lugar, debe recordarse que un espacio vectorial topológico (EVT) $X$ es de Hausdorff si y solo si el conjunto unitario $\{0\}$ que consta exclusivamente del origen es un subconjunto cerrado de $X$. Una aplicación entre dos EVT se denomina isomorfismo EVT o isomorfismo en la categoría de EVT si es un homeomorfismo lineal.

Teorema de F. Riesz​​ Un EVT de Hausdorff $X$ sobre el cuerpo $\mathbb {F}$ ($\mathbb {F}$ es el conjunto de los números reales o complejos) es de dimensión finita si y sólo si es localmente compacto (o equivalentemente, si y sólo si incluye un entorno compacto del origen). En este caso, $X$ es un EVT isomorfo sobre $\mathbb {F} ^{{\text{dim}}X}$.

Consecuencias

En todo momento, $F,X,Y$ son EVTs (no necesariamente de Hausdorff), siendo $F$ un espacio vectorial de dimensión finita.

• Cada subespacio vectorial de dimensión finita de un EVT de Hausdorff es un subespacio cerrado.​
• Todos los EVTs de Hausdorff de dimensión finita son espacios de Banach y todas las normas en dicho espacio son equivalentes.​
• Cerrado + de dimensión finita está cerrado: Si $M$ es un subespacio vectorial cerrado de un EVT $Y$ y si $F$ es un subespacio vectorial de dimensión finita de $Y$ ($Y,M$, y $F$ no son necesariamente de Hausdorff), entonces $M+F$ es un subespacio vectorial cerrado de $Y$.​
• Cada isomorfismo del espacio vectorial (es decir, una función biyectiva lineal) entre dos EVTs de Hausdorff de dimensión finita es un isomorfismo entre EVTs.​
• Singularidad de la topología: Si $X$ es un espacio vectorial de dimensión finita y si $\tau _{1}$ y $\tau _{2}$ son dos topologías sobre EVT de Hausdorff en $X$, entonces $\tau _{1}=\tau _{2}$.​
• Dominio de dimensión finita: Una aplicación lineal $L:F\to Y$ entre EVT de Hausdorff es necesariamente continua.​
  • En particular, cada funcional lineal de un EVT de Hausdorff de dimensión finita es continuo.
• Rango de dimensión finita: Cualquier aplicación lineal sobreyectiva $L:X\to Y$ continuo con un rango de dimensión finita de Hausdorff es una aplicación abierta​ y, por lo tanto, un homomorfismo topológico.

En particular, el rango de $L$ es EVT-isomorfo a $X/L^{-1}(0).$

• Un EVT $X$ (no necesariamente de Hausdorff) es localmente compacto si y solo si $X/{\overline {\{0\}}}$ es de dimensión finita.
• La envolvente convexa de un espacio compacto de un EVT de Hausdorff de dimensión finita es compacta.​
  • Esto implica, en particular, que el recubrimiento convexo de un conjunto compacto es igual al recubrimiento convexo cerrado de ese conjunto.
• Un EVT de Hausdorff localmente acotado con la propiedad de Heine-Borel es necesariamente de dimensión finita.​

Véase también

• Lema de Riesz

Bibliografía

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• Datos: Q97279461