Teorema de Liouville (análisis complejo)

En matemáticas, y en particular en el análisis complejo, el teorema de Liouville, llamado así en honor al matemático Joseph Liouville, afirma que si una función es holomorfa en todo el plano complejo y está acotada, entonces es constante. Nótese que esta afirmación es falsa en los números reales (tómese, por ejemplo, la función , que es derivable en toda la recta real y está acotada, pero no es constante).

Joseph Liouville

Enunciado del teorema

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Sea   una función entera[1]​ y acotada, es decir, existe   tal que

 ;

entonces resulta que   es constante.

Una versión más general de este teorema afirma que si   es una función entera y si   se tiene que  , con   para algún  , entonces   debe ser un polinomio de grado a lo más  . Como consecuencia directa de lo anterior, si  , con  , un polinomio de grado  , entonces   es un polinomio de grado a lo más  .

Demostración

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La fórmula integral de Cauchy dice que

 

De modo que

 

Como podemos elegir   tan grande como queramos, concluimos que   para todo   en  . Finalmente, como   está definida sobre un conjunto simplemente conexo, entonces f debe ser constante.

Teorema de Liouville y teorema fundamental del álgebra

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El teorema de Liouville entrega una demostración simple del teorema fundamental del álgebra, es decir, de que todo polinomio no constante a coeficientes en   tiene una raíz en  . La demostración es la siguiente:

Sea   un polinomio no constante, y supongamos que no tiene raíces. Luego, como todos los polinomios son funciones enteras, se tiene que   resulta ser también una función entera.
Reescribimos (o factorizamos) a  . Usando un   suficientemente grande, de manera que   cada uno de los términos de   será menor que  .
Así  , de donde se desprende  .

Luego   es acotada para  , pero como es continua, también es acotada en el disco  . Aplicando el teorema de Liouville, la función   es constante, por lo que   también lo será. Eso contradice nuestra hipótesis inicial, y se concluye que entonces   debe tener una raíz.[2]

Nótese que se sigue fácilmente que entonces   tiene tantas raíces como su grado (contando multiplicidad), pues basta dividir cada vez   por  , donde   es la raíz recién encontrada.

Consecuencias

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Espectro de un operador

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Una de las consecuencias interesantes del teorema de Liouville es que el espectro de un operador necesariamente es un conjunto no vacío. Para verlo, veamos que el hecho de que fuera vacío contradice el teorema de Liouville. Si dicho espectro fuera vacío entonces la norma de la función resolvente:

 

Donde   es un operador acotado de un espacio de Banach, estaría definida en todo el plano complejo y sería holomorfa y acotada. Y eso implica que la función sería constante por el teorema de Liouville. Y dado que:

 

Por ser constante, tendría que ser 0 en todos sitios y eso contradiría el hecho de que el resolvente sea un operador lineal acotado.

  1.   es derivable en el conjunto de los números complejos.
  2. Churchill, Ruel. Variable compleja y aplicaciones. McGraw Hill. 

Enlaces externos

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