Teorema del emparedado

En cálculo, el teorema del emparedado (llamado también teorema de encaje, teorema de intercalación, teorema de la función comprendida, teorema de estricción, teorema del enclaustramiento, teorema del acotamiento, teorema de compresión, teorema de las funciones mayorante y minorante, teorema del ladrón y los dos policías (Rusia), criterio del sándwich, teorema del sándwich, teorema del bocadillo o teorema de comparación) es un teorema usado en la determinación del límite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.

La función (en azul) atrapada entre las funciones (en verde) y (en rojo).

El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable. Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π, aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.

Motivación editar

Uno de los usos más frecuentes del teorema del sándwich es en la resolución de límites indeterminados. En particular, permite afirmar que el límite

 

Algunas indeterminaciones pueden resolverse despejando dicha expresión de la expresión general y aplicando propiedades del límite con el resto.[1]

Este resultado es muy importante, pues permite, entre otras cosas, calcular las derivadas de las funciones trigonométricas en un punto.[2]

Teorema editar

El teorema del encaje o de intercalación es expuesto formalmente como:

Sea I un intervalo que contiene al punto a y sean f, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que, para todo x en I y diferente de a, tenemos:

 

y supongamos también que:

 

Entonces:

 
Demostración
Por hipótesis, para cada x distinto de a en el intervalo I, se tiene
 

Esto da lugar a las siguientes implicaciones.

  1.  
  2. Sean ε1 y ε2 dos números positivos cualesquiera. Pueden escogerse respectivamente dos intervalos (aδ1a+δ1), (aδ2a+δ2) contenidos en I, tales que para los x en dichos intervalos, se cumplan las desigualdades  . El hecho de que valgan para cualquier par ε1, ε2 permite tomar por conveniencia una cantidad común ε = ε1 = ε2.

De ambas implicaciones se deduce que, para x en (aδ1a+δ1) ∩ (aδ2a+δ2),

 

pero designando δ como el mínimo entre δ1 y δ2, la pertenencia de x a la intersección de los referidos entornos equivale a afirmar que x está en (aδa+δ).

Formalmente se acaba de deducir que

 

puesto que se asumió x distinto de a desde el principio. La implicación anterior equivale a la definición del

 

Las funciones g(x) y h(x) son llamadas cotas de f(x), o también funciones minorante y mayorante de f(x), respectivamente.

Corolario editar

Sean   y   dos funciones definidas en un mismo dominio, y   un punto de acumulación en el referido dominio. Puede demostrarse el siguiente caso particular del teorema de intercalación.

Infinitésimo por acotada

  •   es acotada en D y
  •   es tal que  

entonces

 
Demostración

Basta ver que, como f es acotada,

 

luego,

 

En virtud de la continuidad de la función valor absoluto, se tiene

 

por el teorema del sándwich

 


Generalizaciones editar

El teorema aplica a funciones de varias variables, por ejemplo para funciones escalares de la forma

 

con  . Para un punto de acumulación  , el teorema se enuncia de la siguiente manera:

Sean  ,   y   funciones definidas en   que satisfacen

  •  
  •  

entonces

 

El teorema puede ser extendido también a cualquier función con dominio en  .[3]

Ejemplos editar

 
Para 0<x<π/2, sin(x)≤x≤tan(x).

Ejemplo 1 editar

Para calcular el límite

 

que es una indeterminación del tipo

 

se siguen los siguientes pasos:[1]

1. Se toma la relación   en el intervalo  , sin pérdida de generalidad.

2. Dividiendo los miembros por   resulta:

 

3. Se sabe que

 

y que

 

4. Por el teorema de sándwich se concluye que

 .

Ejemplo 2 editar

Un razonamiento similar permite calcular el límite doble

 

ya que

 

pero como   y   entonces por el teorema del sándwich,

 

Versiones editar

 
La sucesión   converge a 0 y se encuentra mayorada y minorada por las sucesiones   y  , respectivamente, también convergentes a 0.

Existen, entre otras, versiones del teorema del emparedado para sucesiones y para series.[4]

Sucesiones editar

Sean las sucesiones   y   convergentes a   y sea la sucesión   tal que existe   de modo que   para  . Entonces, la sucesión   también converge a  .

Series editar

Sean   y   dos series convergentes y sea   tal que   para todo  . Entonces, la serie   también converge.

Véase también editar

Referencias editar

  1. a b Bohun, Sean. «The Squeeze Theorem» (en inglés). Archivado desde el original el 2 de septiembre de 2006. Consultado el 25 de julio de 2016. 
  2. Díaz Gómez, José Luis. «Derivadas de las funciones trigonométricas». Colombia. Consultado el 25 de julio de 2016. 
  3. De Burgos Román, Juan (1995). Cálculo infinitesimal de varias variables. Madrid: McGraw-Hill. pp. 32-33. ISBN 8448116216. 
  4. Llopis, José L. «Teorema del emparedado». Consultado el 14 de mayo de 2019.