En matemáticas, se dice que una ecuación diferencial es lineal si lo es respecto a la función incógnita y sus derivadas. Puede ser lineal tanto una ecuación diferencial ordinaria (una sola variable independiente), como una ecuación en derivadas parciales (dos o más variables independientes). Se caracterizan por tener soluciones que se pueden obtener mediante combinaciones lineales de otras soluciones, formando así un espacio vectorial (en el caso homogéneo) o afín (no homogéneo), propiedad que no cumplen las ecuaciones diferenciales no lineales.
Una ecuación diferencial lineal tiene forma de:
F
(
x
,
y
,
y
′
,
.
.
.
,
y
(
n
)
)
=
0
,
{\displaystyle F(x,y,y',...,y^{(n)})=0,}
con
F
{\displaystyle F}
y
{\displaystyle y}
y
′
,
.
.
.
,
y
(
n
)
{\displaystyle y',...,y^{(n)}}
a
0
(
x
)
y
+
a
1
(
x
)
y
′
+
.
.
.
+
a
n
(
x
)
y
(
n
)
=
b
(
x
)
,
{\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+...+a_{n}(x)y^{(n)}=b(x),}
donde los coeficientes
a
0
(
x
)
,
.
.
.
,
a
n
(
x
)
{\displaystyle a_{0}(x),...,a_{n}(x)}
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)}
y
′
,
.
.
.
,
y
(
n
)
{\displaystyle y',...,y^{(n)}}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
k
≤
n
{\displaystyle k\leq n}
a
k
(
x
)
{\displaystyle a_{k}(x)}
b
(
x
)
≡
0
{\displaystyle b(x)\equiv 0}
Un operador lineal diferencial es un isomorfismo que actúa sobre funciones diferenciables como combinación lineal de sus derivadas. Utilizando la misma notación que anteriormente, se define como una función
L
:
C
n
(
[
a
,
b
]
)
⟶
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle L:C^{n}([a,b])\longrightarrow C([a,b])}
[
a
,
b
]
⊂
R
{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }
L
[
y
]
=
a
0
y
+
a
1
y
′
+
.
.
.
+
a
n
y
(
n
)
,
{\displaystyle L[y]=a_{0}y+a_{1}y'+...+a_{n}y^{(n)},}
o bien
L
[
y
]
=
∑
k
=
0
n
a
k
y
(
k
)
,
{\displaystyle L[y]=\sum _{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)},}
donde
a
0
,
.
.
.
,
a
n
∈
C
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle a_{0},...,a_{n}\in {C([a,b])}}
y
′
,
.
.
.
,
y
(
n
)
{\displaystyle y',...,y^{(n)}}
y
{\displaystyle y}
Se llama lineal debido a que verifica que, para todo
λ
1
,
.
.
.
,
λ
n
∈
R
{\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}\in \mathbb {R} }
L
[
λ
1
y
1
+
.
.
.
+
λ
n
y
n
]
=
a
n
(
λ
1
y
1
+
.
.
.
+
λ
n
y
n
)
(
n
)
+
.
.
.
+
a
1
(
λ
1
y
1
+
.
.
.
+
λ
n
y
n
)
′
+
a
0
(
λ
1
y
1
+
.
.
.
+
λ
n
y
n
)
=
(
a
n
λ
1
y
1
(
n
)
+
.
.
.
+
a
n
λ
n
y
n
(
n
)
)
+
.
.
.
+
(
a
1
λ
1
y
1
′
+
.
.
.
+
a
1
λ
n
y
n
′
)
+
(
a
0
λ
1
y
1
+
.
.
.
+
a
0
λ
n
y
n
)
=
λ
1
(
a
0
y
1
+
a
1
y
1
′
+
.
.
.
+
a
n
y
1
(
n
)
)
+
.
.
.
+
λ
n
(
a
0
y
n
+
a
1
y
n
′
.
.
.
+
a
n
y
n
(
n
)
)
=
λ
1
L
[
y
1
]
+
.
.
.
+
λ
n
L
[
y
n
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L[\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n}]&=a_{n}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})^{(n)}+...+a_{1}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})'+a_{0}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})\\&=(a_{n}\lambda _{1}y_{1}^{(n)}+...+a_{n}\lambda _{n}y_{n}^{(n)})+...+(a_{1}\lambda _{1}y_{1}'+...+a_{1}\lambda _{n}y_{n}')+(a_{0}\lambda _{1}y_{1}+...+a_{0}\lambda _{n}y_{n})\\&=\lambda _{1}(a_{0}y_{1}+a_{1}y_{1}'+...+a_{n}y_{1}^{(n)})+...+\lambda _{n}(a_{0}y_{n}+a_{1}y_{n}'...+a_{n}y_{n}^{(n)})\\&=\lambda _{1}L[y_{1}]+...+\lambda _{n}L[y_{n}].\end{aligned}}}
editar
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:
{
y
′
(
x
)
+
f
(
x
)
y
(
x
)
=
g
(
x
)
y
(
x
0
)
=
y
0
,
{\displaystyle {\begin{cases}y'(x)+f(x)y(x)=g(x)\\y(x_{0})=y_{0},\end{cases}}}
donde
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
funciones continuas en un intervalo abierto
(
a
,
b
)
⊆
R
{\displaystyle (a,b)\subseteq \mathbb {R} }
valor inicial es
y
(
x
0
)
=
y
0
{\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}
La solución de esta ecuación viene dada por:
y
(
x
)
=
e
−
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
[
y
0
+
∫
x
0
x
g
(
s
)
e
∫
x
0
s
f
(
t
)
d
t
d
s
]
.
{\displaystyle y(x)=e^{-\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}\left[y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}g(s)e^{\int _{x_{0}}^{s}f(t)dt}ds\right].}
Resolución detallada
Es posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la idea consiste en encontrar una función
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
y
′
(
x
)
w
(
x
)
+
y
(
x
)
f
(
x
)
w
(
x
)
{\displaystyle y'(x)w(x)+y(x)f(x)w(x)}
en la derivada de un producto .
Para ello se necesita que
w
′
(
x
)
=
f
(
x
)
w
(
x
)
{\displaystyle w'(x)=f(x)w(x)}
w
(
x
)
:=
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle w(x):=e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}}
w
′
(
x
)
=
f
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle w'(x)=f(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}}
Ahora si se multiplica la ecuación diferencial por
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
y
′
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
+
f
(
x
)
y
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
=
g
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle y'(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}+f(x)y(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}=g(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}.}
Además, la derivada de
(
y
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
)
′
{\displaystyle (y(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt})'}
(
y
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
)
′
=
y
′
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
+
y
(
x
)
f
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {({y(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}})'}=y'(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}+y(x)f(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}.}
Las dos últimas ecuaciones equivalen a:
(
y
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
)
′
=
g
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle {({y(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}})'}=g(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}}
⇔
∫
x
0
x
(
y
(
s
)
e
∫
x
0
s
f
(
t
)
d
t
)
′
d
s
=
∫
x
0
x
g
(
s
)
e
∫
x
0
s
f
(
t
)
d
t
d
s
{\displaystyle \Leftrightarrow {\int _{x_{0}}^{x}{({y(s)e^{\int _{x_{0}}^{s}f(t)dt}})'}ds}={\int _{x_{0}}^{x}{g(s)e^{\int _{x_{0}}^{s}f(t)dt}}ds}}
⇔
y
(
x
)
e
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
−
y
(
x
0
)
=
∫
x
0
x
g
(
s
)
e
∫
x
0
s
f
(
t
)
d
t
d
s
.
{\displaystyle \Leftrightarrow {y(x)e^{\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}-y(x_{0})}={\int _{x_{0}}^{x}{g(s)e^{\int _{x_{0}}^{s}f(t)dt}}ds}.}
Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas usando la expresión:
y
(
x
)
=
e
−
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
(
∫
x
0
x
g
(
s
)
e
∫
x
0
s
f
(
t
)
d
t
d
s
+
y
(
x
0
)
)
.
{\displaystyle y(x)=e^{-\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}({\int _{x_{0}}^{x}{g(s)e^{\int _{x_{0}}^{s}f(t)dt}}ds}+y(x_{0})).}
Ejemplo
Dada la siguiente ecuación:
{
y
′
(
x
)
+
1
x
y
(
x
)
=
3
x
y
(
x
0
)
=
y
0
,
{\displaystyle {\begin{cases}y'(x)+{\frac {1}{x}}y(x)=3x\\y(x_{0})=y_{0},\end{cases}}}
donde
x
>
0
,
x
0
>
0
,
y
0
∈
R
{\displaystyle x>0,x_{0}>0,y_{0}\in \mathbb {R} }
g
(
x
)
=
3
x
{\displaystyle g(x)=3x}
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
De la parte anterior se tiene la siguiente ecuación para y:
y
(
x
)
=
e
−
∫
x
0
x
f
(
t
)
d
t
(
∫
x
0
x
g
(
s
)
e
∫
x
0
s
f
(
t
)
d
t
d
s
+
y
0
)
.
{\displaystyle y(x)=e^{-\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}({\int _{x_{0}}^{x}{g(s)e^{\int _{x_{0}}^{s}f(t)dt}}ds}+y_{0}).}
Substituyendo f y g en la ecuación se obtiene (nótese que
x
>
0
{\displaystyle x>0}
y
(
x
)
=
e
−
∫
x
0
x
1
t
d
t
(
∫
x
0
x
3
s
e
∫
x
0
s
1
t
d
t
d
s
+
y
0
)
=
e
−
l
n
(
x
)
+
l
n
(
x
0
)
(
∫
x
0
x
3
s
e
l
n
(
s
)
−
l
n
(
x
0
)
d
s
+
y
0
)
=
x
0
x
(
∫
x
0
x
3
s
2
1
x
0
d
s
+
y
0
)
=
x
0
x
(
1
x
0
(
x
3
−
x
0
3
)
+
y
0
)
=
x
2
+
x
0
y
0
−
x
0
3
x
,
{\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=e^{-\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{t}}dt}({\int _{x_{0}}^{x}{3se^{\int _{x_{0}}^{s}{\frac {1}{t}}dt}}ds}+y_{0})\\&=e^{-ln(x)+ln(x_{0})}({\int _{x_{0}}^{x}{3se^{ln(s)-ln(x_{0})}}ds}+y_{0})\\&={\frac {x_{0}}{x}}({\int _{x_{0}}^{x}3s^{2}{\frac {1}{x_{0}}}ds}+y_{0})\\&={\frac {x_{0}}{x}}({\frac {1}{x_{0}}}(x^{3}-x_{0}^{3})+y_{0})\\&=x^{2}+{\frac {x_{0}y_{0}-x_{0}^{3}}{x}},\end{aligned}}}
donde
x
0
>
0
,
y
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}>0,y_{0}\in \mathbb {R} }
Simmons, G. F. (2016). Differential equations with applications and historical notes . CRC Press.
Blanchard,P., Devaney, R.L., \& Hall, G.R. (2012). Differential equations . Cengage Learning.
![{\displaystyle L:C^{n}([a,b])\longrightarrow C([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590f759d0cc70cd808585a1d38388bd44be253a2)
![{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659536067aaaac2db1c44613a09a715f0cf7246)
![{\displaystyle L[y]=a_{0}y+a_{1}y'+...+a_{n}y^{(n)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631b39f88ba27672d2707b7b9398dcdc34f912ba)
![{\displaystyle L[y]=\sum _{k=0}^{n}a_{k}y^{(k)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06477f63e237757c6e9d55e1ee950a4a4deea07)
![{\displaystyle a_{0},...,a_{n}\in {C([a,b])}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f19b49821436a9f01ecda6a82bcda9f8ed5894)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L[\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n}]&=a_{n}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})^{(n)}+...+a_{1}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})'+a_{0}(\lambda _{1}y_{1}+...+\lambda _{n}y_{n})\\&=(a_{n}\lambda _{1}y_{1}^{(n)}+...+a_{n}\lambda _{n}y_{n}^{(n)})+...+(a_{1}\lambda _{1}y_{1}'+...+a_{1}\lambda _{n}y_{n}')+(a_{0}\lambda _{1}y_{1}+...+a_{0}\lambda _{n}y_{n})\\&=\lambda _{1}(a_{0}y_{1}+a_{1}y_{1}'+...+a_{n}y_{1}^{(n)})+...+\lambda _{n}(a_{0}y_{n}+a_{1}y_{n}'...+a_{n}y_{n}^{(n)})\\&=\lambda _{1}L[y_{1}]+...+\lambda _{n}L[y_{n}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf2d4d9c55413b50f830aacf2af79a5c668ef8a)
![{\displaystyle y(x)=e^{-\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}\left[y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}g(s)e^{\int _{x_{0}}^{s}f(t)dt}ds\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f80cff3430c1c7ddf8465b7b1626189213fd92d)
