Usuario:Christian Fabregas/Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas curvilíneas


Los operadores diferenciales son de amplia aplicación en multitud de ecuaciones diferenciales, utilizadas en física e ingeniería. Pueden expresarse en diferentes coordenadas curvilíneas para sistemas que contienen esa simetría. En particular, son importantes las coordenadas cilíndricas y esféricas, simetrías muy utilizadas en las disciplinas mencionadas. Se desarrollarán todos los operadores diferenciales (gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano) en diferentes coordenadas. Las demostraciones se llevarán a cabo mediante dos diciplinas matemáticas diferentes, el cálculo diferencial y la geometría diferencial.

>> Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

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* Coordenadas cilíndricas

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Cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas.
 
 
 

* Cambio de base

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Cambio de la base ortonormal en coordenadas cartesianas a la base en coordenadas cilíndricas.
 
 
 

* Derivadas de las bases en coordenadas cilíndricas

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Utilizaremos las siguientes derivadas de las bases.
 

* Productos escalares en coordenadas cartesianas y cilíndricas

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Necesitaremos los siguientes productos escalares.
 
 
 
 

* Productos vectoriales en coordenadas cartesianas y cilíndricas

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Utilizaremos los siguientes productos vectoriales.
 
 
 
 
 
 

* Factor de escala en coordenadas cilíndricas

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El factor de escala nos permite expresar un vector en otras coordenadas y nos da el módulo de las bases.
 
 
Podemos observar que los factores de escala también pueden expresarse en función de la métrica del espacio de la geometría de Riemann.
 

* Métrica o tensor métrico en coordenadas cilíndricas

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La métrica (tensor métrico) de una variedad de Riemann nos permite obtener los coeficientes de un elemento de longitud en las bases deseadas. Tenemos la métrica de las coordenadas cilíndricas.
 
 
 

* Estrella de Hodge (*) en coordenadas cilíndricas

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La estrella de Hodge es un operador que actúa sobre un p-forma diferencial en un espacio de dimensión n.  
- Para una 1-forma:
 
 
- Para una 2-forma:
 
 
 
 
- Para una 3-forma:
 
 

* Subir y bajar índices. Coordenadas cilíndricas

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Subir y bajar índices nos permite pasar de la base de un espacio vectorial a la base dual. Tenemos el contravector o vector del espacio inicial y el covector o 1-forma diferencial de la base diferencial o cobase.
 
 
 
 

> Gradiente en coordenadas cilíndricas. Cálculo diferencial

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El gradiente se calcula aplicando el operador nabla a un campo escalar. Para determinar los factores de escala aplicamos la regla de la cadena.
 
 
 

> Gradiente en coordenadas cilíndricas. Geometría diferencial

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Para obtener el gradiente aplicamos la diferencial exterior al campo escalar 'f' y posteriormente bajamos índices. Finalmente pasaremos de la base natural en sus coordenadas a la base ortonormal.
 
 

> Divergencia en coordenadas cilíndricas. Cálculo diferencial

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> Divergencia en coordenadas cilíndricas. Geometría diferencial

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Para desarrollar la divergencia con geometría diferencial bajaremos índices, aplicaremos la estrella de Hodge, posteriormente la diferencial exterior; y finalmente, otra vez, la estrella de Hodge.
 
 
 
 
 

> Rotacional en coordenadas cilíndricas. Cálculo diferencial

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> Rotacional en coordenadas cilíndricas. Geometría diferencial

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Para desarrollar el rotacional con geometría diferencial bajaremos índices, aplicaremos la diferencial exterior; y finalmente, aplicaremos la estrella de Hodge y subiremos índices.
 
 
 
 
 
 
 
 
 

> Laplaciano en coordenadas cilíndricas. Cálculo diferencial

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> Laplaciano en coordenadas cilíndricas. Geometría diferencial

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Para el cálculo del laplaciano en geometría diferencial, aplicaremos la diferencial exterior sobre el campo escalar 'f', la estrella de Hodge, otra vez la diferencial exterior y finalmente, otra vez, la estrella de Hodge.
 
 
 
 
 
 
 

>> Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

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* Coordenadas esféricas

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Cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas.
 
 
 

* Cambio de base

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Cambio de la base ortonormal de las coordenadas cartesianas a la base en coordenadas esféricas.
 
 
 

* Derivadas de las bases en coordenadas esféricas

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Para las demostraciones necesitaremos de las derivadas de las bases.
 

* Productos escalares en coordenadas esféricas

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Para los desarrollos necesitaremos los siguientes productos escalares, de las bases en coordenadas esféricas.
 
 

* Productos vectoriales en coordenadas esféricas

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Necesitariemos los productos vectoriales de las bases.
 
 
 

* Factor de escala en coordenadas esféricas

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El factor de escala nos permite pasar de la base en coordenadas cartesianas la base en coordenadas esféricas.
 
Podemos observar que los factores de escala también pueden expresarse en función de la métrica del espacio en la geometría de Riemann.
 

* Métrica o tensor métrico en coordenadas esféricas

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La métrica (tensor métrico) de una variedad de Riemann nos permite obtener los coeficientes de un elemento de longitud en las bases deseadas. En este caso tenemos la métrica de las coordenadas esféricas. Puede observarse que está muy relacionado con el factor de escala.
 
 
 

* Estrella de Hodge (*) en coordenadas esféricas

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La estrella de Hodge es un operador que actúa sobre un p-forma diferencial en una dimensión n.
 
- Para una 1-forma:
 
 
 
 
- Para una 2-forma:
 
 
 
 
 
 
 
- Para una 3-forma:
 
 

* Subir y bajar índices. Coordenadas esféricas

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Subir y bajar índices nos permite pasar de la base de un espacio vectorial a la base dual. Tenemos el contravector o vector del espacio inicial y el covector o 1-forma diferencial de la base diferencial.
 
 
 
 

> Gradiente en coordenadas esféricas. Cálculo diferencial

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> Gradiente en coordenadas esféricas. Geometría diferencial

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Para calcular el gradiente en coordenadas esféricas inicialmente aplicaremos la diferencial exterior y bajaremos índices. Finalmente pasaremos de la base natural en sus coordenadas a la base ortonormal.
 
 
 

> Divergencia en coordenadas esféricas. Cálculo diferencial

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> Divergencia en coordenadas esféricas. Geometría diferencial

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Para desarrollar la divergencia con geometría diferencial bajaremos í­ndices, aplicaremos la estrella de Hodge, posteriormente la diferencial exterior; y finalmente, otra vez, la estrella de Hodge.
 
 
 
 
 
 
 
 

> Rotacional en coordenadas esféricas. Cálculo diferencial

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> Rotacional en coordenadas esféricas. Geometría diferencial

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Para desarrollar la rotacional con geometría diferencial bajaremos í­ndices, aplicaremos la estrella de Hodge, posteriormente la diferencial exterior; y finalmente, otra vez, la estrella de Hodge.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

> Laplaciano en coordenadas esféricas. Cálculo diferencial

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> Laplaciano en coordenadas esféricas. Geometría diferencial

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Para hallar el laplaciano en coordenadas esféricas, inicialmente aplicaremos la diferencial al campo escalar 'f, después la estrella de Hodge, otra vez la diferencial y otra vez la estrella de Hodge.
 
 
 
 
 
 
 
 

>> Operadores diferenciales en coordenadas generalizadas

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* Productos escalares en coordenadas generalizadas

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Serán necesarios los siguientes productos escalares para coordenadas generalizadas.
 
 

* Productos vectoriales en coordenadas generalizadas

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Utilizaremos en los desarrollos los siguientes productos vectoriales.
 
 
 

* Divergencia del rotacional

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En las demostraciones generalizadas en cálculo diferencial necesitaremos estas identidades para los factores de escala h_1, h_2 i h_3. La divergencia del rotacional vale cero.
 
 
 

* Factor de escala en coordenadas generalizadas

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El factor de escala en cálculo diferencial nos permite pasar de unas coordenadas a otras.

 
Podemos observar que los factores de escala también pueden expresarse en función de la métrica del espacio de la geometría de Riemann.
 

* Métrica o tensor métrico en coordenadas generalizadas

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La métrica (tensor métrico) de una variedad de Riemann nos permite obtener los coeficientes de un elemento de longitud en las bases deseadas. En este caso tenemos la métrica de las coordenadas esféricas.
 
 
 

* Estrella de Hodge (*) en coordenadas generalizadas

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La estrella de Hodge es un operador que actúa sobre un p-forma diferencial en un espacio de dimensión n.
 
 
 
 

* Subir y bajar índices. Coordenadas generalizadas

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[Ley de subir o bajar índices (tensores)| Subir y bajar índices]] nos permite pasar de la base de un espacio vectorial a la base dual. Tenemos el contravector o vector del espacio inicial y el covector o 1-forma diferencial de la base diferencial.
 
 

> Gradiente en coordenadas generalizadas. Cálculo diferencial

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> Gradiente en coordenadas generalizadas. Geometría diferencial

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Obtendremos el gradiente de un campo escalar en geometría diferencial aplicando la diferencial exterior y posteriormente bajaremos índices.
 
 
 

> Divergencia en coordenadas generalizadas. Cálculo diferencial

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> Divergencia en coordenadas generalizadas. Geometría diferencial

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Para obtener la divergencia de un campo vectorial, bajaremos índices, aplicaremos la estrella de Hodge, aplicaremos la diferencial exterior y volveremos a aplicar la estrella de Hodge.
 
 
 
 
 
 
 
 

> Rotacional en coordenadas generalizadas. Cálculo diferencial

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> Rotacional en coordenadas generalizadas. Geometría diferencial

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Para calcular el rotacional en geometría diferencial bajaremos índices, aplicaremos la diferencial exterior, posteriormente la estrella de Hodge y subiremos índices para dar el vector resultante. Finalmente pasaremos de la base natural a la base ortonormal.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

> Laplaciano en coordenadas generalizadas. Cálculo diferencial

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> Laplaciano en coordenadas generalizadas. Geometría diferencial

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Para calcular el laplaciano en geometría diferencial aplicaremos la diferencial exterior, la estrella de Hodge y otra vez la diferencial exterior y la estrella de Hodge.
 
 
 
 
 
 
 
 

Bibliografía

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Gravitation (Charles W. Miser, Kip S. Thorne)
Geometría diferencial (Carlos Ivorra Castillo)
Geometría diferencial (Fernando Chamizo Lorente)

Véase también

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