Usuario:Gavilán de Castilla/Taller/1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

En matemáticas, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ es la serie infinita cuyos términos son las sucesivas potencias de dos. Como serie geométrica, se caracteriza por su primer término, 1, y su razón común, 2. Al ser una serie de números reales, no tiene límite finito.

Las cuatro primeras sumas parciales de 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯.

La serie puede ser manipulada para así obtener resultados matemáticos curiosos. Por ejemplo, el sumatorio de Ramanujan de esta serie es -1, el cual es también el límite de la serie utilizando el sistema 2-ádico.

Las sumas parciales de   son   porque divergen hacia el infinito.

Cualquier método de suma regular da una suma de números infinitos, incluyendo la suma de Cesàro y la suma de Abel. Por otra parte, hay al menos un método útil que suma   hacia el valor finito de −1. La siguiente serie de potencias

 
tiene un radio de convergencia en 0 de  , por lo tanto no converge en  

Sin embargo, la función   tiene una única extensión analítica al plano complejo con el punto   eliminado, y viene dada por la misma regla   Como   se dice que la serie original   es sumable (E) a −1, y −1 es la (E) suma de la serie.

Una aproximación casi idéntica (la adoptada por el propio Euler) es considerar la serie de potencias cuyos coeficientes son todos 1, esto es,

 
y sustituyendo en   Estas dos series están relacionados por la sustitución  

El hecho de que la sumación de Euler asigne un valor infinito a   muestra que el método general no es totalmente regular. Por otra parte, posee otras cualidades deseables para un método de suma, incluyendo estabilidad y linealidad. Estos dos axiomas obligan a que la suma sea −1, ya que hacen válida la siguiente manipulación:

 

  es una raíz de la ecuación   Por ejemplo,   es uno de los dos puntos fijos de la transformación de Möbius   en la esfera de Riemann. Si se conoce algún método de suma que devuelva un número ordinario para  , y no es   entonces se podrá determinar fácilmente. En este caso,   puede ser restado a ambos lados de la ecuación, dando   entonces  [1]

  1. Las dos raíces de   están brevemente explicadas en Hardy p. 19.

Referencias

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Véase también

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