Usuario:Gavilán de Castilla/Taller/1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

En matemáticas, 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ es la serie infinita cuyos términos son las sucesivas potencias de dos. Como serie geométrica, se caracteriza por su primer término, 1, y su razón común, 2. Al ser una serie de números reales, no tiene límite finito.

La serie puede ser manipulada para así obtener resultados matemáticos curiosos. Por ejemplo, el sumatorio de Ramanujan de esta serie es -1, el cual es también el límite de la serie utilizando el sistema 2-ádico.

Suma

Las sumas parciales de $1+2+4+8+\cdots$ son $1,3,7,15,\ldots$ porque divergen hacia el infinito.

Cualquier método de suma regular da una suma de números infinitos, incluyendo la suma de Cesàro y la suma de Abel. Por otra parte, hay al menos un método útil que suma $1+2+4+8+\cdots$ hacia el valor finito de −1. La siguiente serie de potencias

f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}

tiene un radio de convergencia en 0 de

{\frac {1}{2}}

, por lo tanto no converge en

x=1.

Sin embargo, la función $f$ tiene una única extensión analítica al plano complejo con el punto $x={\frac {1}{2}}$ eliminado, y viene dada por la misma regla $f(x)={\frac {1}{1-2x}}.$ Como $f(1)=-1,$ se dice que la serie original $1+2+4+8+\cdots$ es sumable (E) a −1, y −1 es la (E) suma de la serie.

Una aproximación casi idéntica (la adoptada por el propio Euler) es considerar la serie de potencias cuyos coeficientes son todos 1, esto es,

1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}

y sustituyendo en

y=2.

Estas dos series están relacionados por la sustitución

y=2x.

El hecho de que la sumación de Euler asigne un valor infinito a $1+2+4+8+\cdots$ muestra que el método general no es totalmente regular. Por otra parte, posee otras cualidades deseables para un método de suma, incluyendo estabilidad y linealidad. Estos dos axiomas obligan a que la suma sea −1, ya que hacen válida la siguiente manipulación:

{\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}

$s=\infty$ es una raíz de la ecuación $s=1+2s.$ Por ejemplo, $\infty$ es uno de los dos puntos fijos de la transformación de Möbius $z\mapsto 1+2z$ en la esfera de Riemann. Si se conoce algún método de suma que devuelva un número ordinario para $s$ , y no es $\infty ,$ entonces se podrá determinar fácilmente. En este caso, $s$ puede ser restado a ambos lados de la ecuación, dando $0=1+s,$ entonces $s=-1.$ ^[1]

Notas

↑ Las dos raíces de $s=1+2s$ están brevemente explicadas en Hardy p. 19.

Referencias

Euler, Leonhard (1760). «De seriebus divergentibus». Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 5: 205-237.
Gardiner, Tony (2002). Understanding infinity: the mathematics of infinite processes (Dover edición). Dover. ISBN 0-486-42538-X.
Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCC QA295.

Véase también

[1] Las dos raíces de $s=1+2s$ están brevemente explicadas en Hardy p. 19.

[1]