Usuario:HectorArnulfoFernandezCuevas/Taller

Al finalizar el XIX  se conoce la ecuación de Boltzmann que rige la dinámica del medio gaseoso a la escala microscópica y las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes para el nivel macroscópico. pasar de una escala a la otra constituye una parte del sexto problema de Hilbert. David Hilbert, autor de las declaraciones de los principales problemas considerados al finalizar el XIX  plantea las bases de un método bajo la forma de un desarrollo que lleva su nombre (1912). Hará falta esperar algunos años para que Sydney Chapman y David Enskog propogan simultáneamente e independientemente en 1916 y 1917 una solución a este problema,,.​​​ Más recientemente este método se ha extendido al caso de un gas en desequilibrio thermodynamique​, siendo este último aspecto un área de investigación muy activa en la actualidad.

El método de Chapman-Enskog es un método de perturbación que consiste en definir la solución bajo la forma de series de funciones de distribución en funciones de un « pequeño parámetro » asimilable al número de Knudsen. En  orden cero se encuentra la distribución de Maxwell-Boltzmann y las ecuaciones de Euler. El orden uno permite conocer la expresión de los flujos de calor y de cantidad de movimiento y aquella de los coeficientes de transporte (los coeficientes de difusión por gradientes de concentración, de presión y de temperatura, las viscosidades dinámica, volumétricas, y la conductividad). De los potenciales de interacción molecular. Este enfoque permite encontrar las ecuaciones de Navier-Stokes y para justificar la difusión por gradientes térmico, desconocida en el tiempo en el que están publicados los trabajos de Chapman y de Enskog. Este método permitirá calcular todos estos coeficientes a partir del conocimiento de uno de ellos mediante la reconstitución  a una medida (generalmente la viscosidad) de un potencial de interacción como el potencial de Lennard-Jones.

Harold Grad ha propuesto un enfoque alternativo que consiste en buscar la solución por los métodos de momentos de la función de distribución (1949). La ecuación de Boltzmann está multiplicada por ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$En este tipo de método de la ecuación en el n° de tiempo muestra la (n+1)°. Por lo tanto, debemos hacer una hipótesis para "cerrar" el sistema. Grad asume la solución expresada por una serie truncada de polynômes de Hermite. David Levermore ha propuesto más recientemente (1996) un cierre que usa una propiedad general : la solución maximiza la entropie del sistema de cerrábamos que son las partículas del medio.​ De los códigos de cálculo basado en estos métodos están quedado en la propiedad del laboratorio porque no aportando una ganancia notable en términos de propiedad de validez (en términos de número de Knudsen) por informe a los códigos estándares que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes, los cuales han hecho el objeto de desarrollos considerables.

Ecuaciones de evolución microscópica y macroscopia 

Nivel microscópico 

Apuntamos  la función de distribución estadística de la velocidad.${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ El número probable de partículas en el volumen${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ La distri${\displaystyle }$bución estadística ${\displaystyle }$

La ecuación de Boltzmann se escribe

${\displaystyle }$

dónde Q, el operador (o núcleo) de colisión, es un operador integral cuadrático que se describe continuación, dando el efecto de las colisiones que se supondrán elásticas para simplificar el problema: no hay intercambio entre los grados de libertad interna y traslación, no hay reacción química.${\displaystyle }$que resulta de este tipo de intercambio.

Hay tantas distribuciones como de especies presentes en el medio. A cada una corresponde una ecuación de Boltzmann acoplada a las demás por los segundos miembros que representan colisiones homogéneas (${\displaystyle }$${\displaystyle }$

el choque elástico 

Esquema de una interacción molecular elástica en el sistema relacionado al baricentro.

Las velocidades antes de la i${\displaystyle }$nteracción en un référentiel galiléen son. ${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Los indices representan indistintamente una misma especie o dos especies diferentes. Estas velocidades valen ${\displaystyle }$${\displaystyle }$ despues nos colocamos en un un sistema centrado el el centro de gravedad que tiene una velocidad constante a causa de la conservación de la cantidad de movimiento. En este sistema que es por lo tanto galileo, la velocidad inicial de la partícula. ${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Por simetria se puede afirmar que la trayectoria estará contenida en el plano que contiene el origen y ${\displaystyle }$${\displaystyle }$ En esta referencia  la desv${\displaystyle }$ación es ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$Si esta hipótesis es rigurosa para la interacción entre dos átomos, se puede considerarla utilizable para dos moléculas : el potencial es entonces un potencial medio estadístico.

La direcc${\displaystyle }$ón de salida de interacción está definida por: ${\displaystyle }$calcular a partir de las siguientes consideraciones:

• la conservación de la cantidad de movimiento en la interacción implica

${\displaystyle }$

• la velocidad relativa ${\displaystyle }$${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

Las velocidades después de la interacción son por lo tanto: 

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

Además la conservación del momento cinétique durante la interacción conduce a ${\displaystyle }$

El sistema que describe la colisión es reversible. El théorème de Liouville permite escribir

${\displaystyle }$

La colisión del núcleo 

El número proba${\displaystyle }$le de partículas que atrav${\displaystyle }$esan el área.${\displaystyle }$${\displaystyle }$ con el númer${\displaystyle }$o probable de partículas en el volumen elemental.${\displaystyle }$ El número de partículas que d${\displaystyle }$esaparecen de la estad${\displaystyle }$ística por uni${\displaystyle }$dad de t${\displaystyle }$empo es ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

De la misma manera, contamos la cantidad de partículas que aparecen 

${\displaystyle }$

Dadas las relaciones anteriores para la colisión. el operador de colisión se escribe

${\displaystyle }$

Esta ecuación está nombrada como la  ecuación de Wang Chang y Uhlenbeck.

Se puede dar una formulaci${\displaystyle }$ón equivalente que introduce la seccion transversal diferencial ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

por lo tanto 

${\displaystyle }$

Nivel macroscópico 

Las variables

La ecuación de Boltzmann describe la evolución de partículas a nivel macroscópico. Para describi${\displaystyle }$r cada una de las especies ${\displaystyle }$

- la densidad de partículas	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
- la densidad	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
- la velocidad media	${\displaystyle }$
- la energía interna	${\displaystyle }$

podemos entonces definir valores para el conjunto de las especies

- la velocidad total	${\displaystyle }$	(velocidad baricéntrica de todas las partículas)
- la velocidad de difusión	${\displaystyle }$	(cantidad cinématique)

Algunas variables auxiliares (N es el número de Avogadro)${\displaystyle }$

- la fracción de volumen	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
- la fracción masa	${\displaystyle }$	tal que ${\displaystyle }$
- la masa molar	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$

Los flujos

${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

esto se difine observando el producto dyadique${\displaystyle }$

- el flujo de masa	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
- el tenseur de presión	${\displaystyle }$	que representa el flujo de cantidad de movimiento. Es simétrico por construcción.
- la presión parcial		se define a partir del rastro del tensor de presión.
- el flujo de calor	${\displaystyle }$	representa el flujo de energía interna.

Los flujos globales se obtienen si${\displaystyle }$mplemente sumando ${\displaystyle }$${\displaystyle }$ podemos entonces definir una temperatura a partir de la ecuación de estado

${\displaystyle }$

Ecuaciones de evolución

Multipli${\displaystyle }$cando cada una de las ecuaci${\displaystyle }$ones de Boltz${\displaystyle }$ann sucesivam${\displaystyle }$ente por cada uno de los inv${\displaystyle }$ariantes de colisión.${\displaystyle }$ el producto contraído.${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

Todos los segundos miembros son nulos a causa de las leyes de conservación

${\displaystyle }$

Así obtenemos un sistema de evolución ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Ecuación de Boltzmann adimensional 

se supone que es un medio homogéneo  (una sola especie presente).

Con el fin de estimar la aportación de cada término en la ecuación de Boltzmann es necesario modificar éste. Para eso se define las cantidades de referencia siguiente :

• ${\displaystyle }$${\displaystyle }$
• ${\displaystyle }$${\displaystyle }$
• la pr${\displaystyle }$esión de ref${\displaystyle }$erencia ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$
• una veloc${\displaystyle }$idad de referencia micróscopica  que corresponde a la velocidad mediana de una part${\displaystyle }$ícula ${\displaystyle }$
• otra veloc${\displaystyle }$idad de referencia microscópica  que corresponde a la velocidad relativa promedio entre dos partículas ${\displaystyle }$
• una longitud de referencia microscópica  correspondiente a la trayectoria libre promedio ${\displaystyle }$${\displaystyle }$

Si ahora definimos las variables reducidas ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

• ${\displaystyle }$
•  número de Strouhal ${\displaystyle }$
• número de Knudsen ${\displaystyle }$ cuyo peso inverso es el termino de colision, por lo que la tendencia a volver al equilibrio. En la practica, para que las ecuaciones del continuo sean validas, es necesario que${\displaystyle }$

Formulación de la solución

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ De donde las restricciones sobre la solución.

${\displaystyle }$

usamos esta aproximación en la ecuación de Boltzmann y se separa los términos correspondientes a cada potencia de ${\displaystyle }$

Al orden cero

se obtiene simplemente

${\displaystyle }$

Esta ecuación está verificada si todos los términos que la componen son nulos, así que en particular

${\displaystyle }$

Lo que implica

${\displaystyle }$

o

${\displaystyle }$

.${\displaystyle }$  Es un variante colisional. Por lo tanto Se escribe pues como una combinación lineal de las invariantes colisionales canónicos

${\displaystyle }$

Introduciendo esta expresión en las ecuaciones que definen las variables microscópicas se identifica los parámetros de este desarrollo y se encuentra la ley de distribución de las velocidades de Maxwell

${\displaystyle }$

con. ${\displaystyle }$ Los flujos de difusión ${\displaystyle }$${\displaystyle }$ El tensor de presión está reduci${\displaystyle }$do a su rastro. ${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Las ecuaciones macróscopicas correspondientes son las ecuaciones de Euler.

Al orden uno

El orden uno mustra una ecuación integral de Fredholm para la incógnita ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

La difícil resolución de esta ecuación, permite dar las diversas cantidades desconocidas de las ecuaciones de Enskog que se puede entonces asimilar a las ecuaciones de Navier-Stokes.

El flujo de difusión

Se obtiene bajo forma de un sistema lineal llamado sistema de Stefan-Maxwell

${\displaystyle }$

Donde vemos la aparición coeficiente de difusión binaria ${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ y que pueden ser negativos) por

${\displaystyle }$

Para un medio con${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Su solución formal es:

${\displaystyle }$

Encontramos los términos de difusión por gradiente de concentración, de presión y de temperatura (efecto Soret).${\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle }$ terminos independientes Generalmente elegimos ${\displaystyle }$ Por el bien de la simetria. Esta elección es arbitraria.

Hay diversas soluciones aproximadas del sistema de Stefan-Maxwell que permite obtener una expresión explícita del flujo de difusión bajo una forma vecina de la ley de Fick, la cual no es exacta que para una mezcla binaria,.

El tensor de presión

El tensor de presión tiene una forma clásica

${\displaystyle }$

donde ${\displaystyle }$${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

Un término adi${\displaystyle }$cional ${\displaystyle }$Su influencia es débil incluso totalmente despreciable para los gases poco densos.

Se observa que la hipótesis de Stokes se justifica naturalmente por este enfoque.

El flujo de calor

Está dado por

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ Esta es la conductividad termica El último término de la ecuación es el corolario del efecto Soret y está nombrado efecto Dufour.

Los coeficientes de transporte

Los coefici${\displaystyle }$entes d${\displaystyle }$e transporte se expresan en forma de sistemas lineales que involucran cantidades del tipo ${\displaystyle }$ Los coeficientes del desarrollo se expresan en funciones integrales de colisión. En lo práctico estamos satisfechos con el primer orden para el desarrollo y las integrales de colisión son funciones de la temperatura tabuladas por varios autores. Además hay soluciones aproximadas de los sistemas lineales que dan los diversos coeficientes bajo forma explícita,.

La función de distribución

La función de distribución es

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

Esta función de distribución es necesaria para el cálculo de la capa de Knudsen que da las condiciones a la pared para la ecuación de Navier-Stokes.

Al orden dos

Aqui nuevamente obtenemos una integral de Fredholm para la incógnita ${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

David Burnett propuso en 1935 una solución de esta ecuación. Ésta tiene el inconveniente de no respetar el théorème​ H. Parece que la subida en orden constituye un callejón sin salida, todas las variantes propuestas hasta este día no resuelven este problema.​

Notas y referencias

Ver también

Artículos relacionados 

• Choque élastique
• Colisión inélastique
• Desarrollo asymptotique
• Teoría de las perturbaciones