Apaciguador (matemáticas)

En matemáticas, un apaciguador (nombre original en inglés: mollifier),​ también conocido como aproximación a la identidad, es una función suave con propiedades especiales, que se utiliza, por ejemplo, en la teoría de distribuciones para crear sucesiones de funciones suaves que se aproximan a funciones (generalizadas) no suaves, mediante convolución. Intuitivamente, dada una función que sea bastante irregular, puede "suavizarse" al convolucionarla con un apaciguador, es decir, se obtiene una función con los rasgos angulosos suavizados, pero sin dejar de permanecer cerca de la función (generalizada) original que no es suave.​

Un apaciguador (arriba) en dimensión uno. En la parte inferior, en rojo hay una función con una esquina (izquierda) y un salto brusco (derecha), y en azul está su versión apaciguada

A estas funciones también se las conoce como apaciguadores de Friedrichs en referencia a Kurt Otto Friedrichs, el matemático que las ideó.​

Notas históricas

Kurt Otto Friedrichs introdujo los apaciguadores en su artículo (Friedrichs, 1944, pp. 136–139), que se considera un hito en la teoría moderna de las ecuaciones en derivadas parciales.​ El nombre de este objeto matemático tuvo una génesis curiosa, y Peter Lax cuenta toda la historia en su comentario sobre ese artículo publicado en la "Selecta" de Friedrichs.​ Según él, en aquella época, el matemático Donald Alexander Flanders era colega de Friedrichs: como le gustaba consultar a sus colegas sobre el uso del inglés, le pidió consejo a Flanders sobre cómo nombrar el operador de suavizado que estaba utilizando.​ Flanders era un puritano, apodado por sus amigos Moll en honor a Moll Flanders en reconocimiento a sus cualidades morales: sugirió llamar al nuevo concepto matemático "apaciguador" como un juego de palabras que incorpora tanto el apodo de Flanders como el verbo to mollify, que significa 'suavizar' en sentido figurado.​

Anteriormente, Serguéi Sóbolev usó apaciguadores en su artículo de época de 1938,​, que contiene la prueba del teorema de embebido de Sobolev: el propio Friedrichs reconoció el trabajo de Sobolev sobre los apaciguadores, afirmando que: - "Estos apaciguadores fueron introducidos por Sobolev y el autor..." .​

Cabe señalar que el término apaciguador ha experimentado una deriva lingüística desde la época de estos trabajos fundacionales: Friedrichs definió como "apaciguador" al operador integral cuyo núcleo es una de las funciones hoy llamadas apaciguadores. Sin embargo, dado que las propiedades de un operador integral lineal están completamente determinadas por su núcleo, el núcleo mismo heredó el nombre de apaciguador como resultado de su uso común.

Definición

Una función en proceso de apaciguamiento progresivo

Definición moderna (basada en la teoría de la distribución)

Definition 1. Si $\varphi$ es una función suave en ℝⁿ, n ≥ 1, que satisface los siguientes tres requisitos

(1)   Es compactamente soportada​

(2)  $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1$

(3)  $\lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)$

donde $\delta (x)$ es la delta de Dirac y el límite debe entenderse en el espacio de distribuciones de Schwartz, entonces $\varphi$ es un apaciguador. La función $\varphi$ también podría satisfacer otras condiciones:​ por ejemplo, si satisface

(4)  $\varphi$$(x)$ ≥ 0 para todo x ∈ ℝⁿ, entonces se llama apaciguador positivo

(5)  $\varphi$$(x)$=$\mu$$(|x|)$ para algunas funciones suaves $\mu$ : ℝ⁺ → ℝ, entonces se llama apaciguador simétrico

Notas sobre la definición de Friedrichs

Nota 1. Cuando la teoría de distribuciones todavía no era ampliamente conocida ni utilizada, la propiedad​ anterior de (3) se formuló diciendo que la convolución de la función $\scriptstyle \varphi _{\epsilon }$ con una función dada perteneciente a un espacio de Hilbert propio o a un espacio de Banach converge como ε → 0 a esa función:​ esto es exactamente lo que hizo Friedrichs.​ Del mismo modo, esta circunstancia también aclara por qué los apaciguadores están relacionados con las identidades aproximadas.​

Nota 2. Como se señaló brevemente en la sección de "Notas históricas" de esta entrada, originalmente, el término "apaciguador" identificaba el siguiente operador de convolución:​​

$\Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y$

donde $\varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )$ y $\varphi$ es una función suave que satisface las tres primeras condiciones indicadas anteriormente y una o más condiciones suplementarias, como positividad y simetría.

Ejemplo concreto

La función $\varphi$$(x)$ en dimensión uno

Considérese la función bulto $\varphi$$(x)$ de un variable en ℝⁿ definida por

$\varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}$

donde la constante numérica $I_{n}$ asegura la normalización. Esta función es Infinitamente diferenciable, pero no analítica, y su derivada se anula para |x| = 1. Por lo tanto, $\varphi$ puede utilizarse como apaciguador tal como se describe anteriormente: se puede ver que $\varphi$$(x)$ define un apaciguador positivo y simétrico.​

Propiedades

Todas las propiedades de un apaciguador están relacionadas con su comportamiento bajo la operación de convolución: se enumeran las siguientes, cuyas demostraciones se pueden encontrar en distintos textos sobre teoría de distribuciones.​

Propiedad de suavizado

Para cualquier distribución $T$, la siguiente familia de convoluciones indexadas por números reales $\epsilon$

$T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }$

donde $\ast$ denota una convolución, es una familia de funciones suaves.

Aproximación de identidad

Para cualquier distribución $T$, la siguiente familia de convoluciones indexadas por números reales $\epsilon$ converge a $T$

$\lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$

Soporte de convolución

Para cualquier distribución $T$,

$\operatorname {supp} T_{\epsilon }=\operatorname {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \operatorname {supp} T+\operatorname {supp} \varphi _{\epsilon }$,

donde $\operatorname {supp}$ indica un soporte en el sentido de la teoría de distribuciones, y $+$ indica su suma de Minkowski.

Aplicaciones

La aplicación básica de los apaciguadores es demostrar que las propiedades válidas para las funciones suaves también lo son para casos en los que no se verifica esta propiedad:

Producto de distribuciones

En algunas teorías de funciones generalizadas, se utilizan apaciguadores para definir la multiplicación de distribuciones: precisamente, dadas dos distribuciones $S$ y $T$, el límite del producto de una función suave y una distribución

$\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T$

define (si existe) su producto en varias funciones generalizadas.

Teoremas "débil=fuerte"

De manera muy informal, los apaciguadores se utilizan para demostrar la identidad de dos tipos diferentes de extensión de operadores diferenciales: la extensión fuerte y la extensión débil. El artículo (Friedrichs, 1944) ilustra bastante bien este concepto. Sin embargo, la gran cantidad de detalles técnicos necesarios para mostrar lo que esto realmente significa impiden que se detallen formalmente en esta breve descripción.

Funciones de corte suaves

Por convolución de la función característica de la bola unitaria $B_{1}=\{x:|x|<1\}$ con la función suave $\varphi _{1/2}$ (definida como en (3) con $\epsilon =1/2$), se obtiene la función

$\chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})$

que es un suave e igual a $1$ en $B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}$, con soporte contenido en $B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}$. Esto se puede ver fácilmente observando que si $|x|$ ≤ $1/2$ y $|y|$ ≤ $1/2$, entonces $|x-y|$ ≤ $1$. Por lo tanto, para $|x|$ ≤ $1/2$,

$\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1$.

Se ve cómo esta construcción se puede generalizar para obtener una función suave idéntica a uno en un entorno de un conjunto compacto dado, e igual a cero en cada punto cuya distancia a este conjunto sea mayor que un $\epsilon$ dado.​ Esta función se llama función de corte (suave): esas funciones se utilizan para eliminar singularidades de una función ((generalizada)) dada por multiplicación. Dejan sin cambios el valor de la mencionada función y lo multiplican solo sobre un Conjunto dado, modificando así su soporte: también las funciones de corte son las partes básicas de particiones de la unidad suaves.

Véase también

• Identidad aproximada
• Función bulto
• Convolución
• Teoría de distribuciones
• Función generalizada
• Kurt Otto Friedrichs
• Función suave no analítica
• Serguéi Sóbolev
• Transformación de Weierstrass

Bibliografía

• Friedrichs, Kurt Otto (January 1944), «The identity of weak and strong extensions of differential operators», Transactions of the American Mathematical Society 55 (1): 132-151, JSTOR 1990143, MR 0009701, Zbl 0061.26201, doi:10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0 .. El primer artículo donde se introdujeron los apaciguadores.
• Friedrichs, Kurt Otto (1953), «On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations», Communications on Pure and Applied Mathematics VI (3): 299-326, MR 0058828, Zbl 0051.32703, doi:10.1002/cpa.3160060301, archivado desde el original el 5 de enero de 2013 .. Un artículo donde se investiga el differentiability de soluciones de ecuación diferencial parcial elíptica mediante el uso de suavizadores.
• Friedrichs, Kurt Otto (1986), Morawetz, Cathleen S., ed., Selecta, Contemporary Mathematicians, Boston-Basilea-Stuttgart: Birkhäuser Verlag, pp. 427 (Vol. 1); pp. 608 (Vol. 2), ISBN 0-8176-3270-0, Zbl 0613.01020 .. Una selección de las obras de Friedrichs con una biografía y comentarios de David Isaacson, Fritz John, Tosio Kato, Peter Lax, Louis Nirenberg, Wolfgag Wasow, Harold Weitzner.
• Giusti, Enrico (1984), Minimal surfaces and functions of bounded variations, Monographs in Mathematics 80, Basilea-Boston-Stuttgart: Birkhäuser Verlag, pp. xii+240, ISBN 0-8176-3153-4, MR 0775682, Zbl 0545.49018 ..
• Hörmander, Lars (1990), The analysis of linear partial differential operators I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft 256 (2nd edición), Berlín-Heidelberg-New York: Springer Science+Business Media, ISBN 0-387-52343-X, MR 1065136, Zbl 0712.35001 ..
• Sobolev, Sergei L. (1938), «Sur un théorème d'analyse fonctionnelle», Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (en russian, French), 4(46) (3): 471-497, Zbl 0022.14803 .. El artículo donde Sergéi Sobólev demostró su teorema de embebido, introduciendo y usando operadores integrales muy similares a los apaciguadores, aunque sin nombrarlos explícitamente.

• Datos: Q2318637