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En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático suizo Jacob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito () y valor 0 para la probabilidad de fracaso ().

Bernoulli
Parámetros
Dominio
Función de probabilidad (fp)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana N/A
Moda
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica

Si es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .

Su función de probabilidad viene definida por:

La fórmula será:

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Índice

Propiedades característicasEditar

Esperanza matemática:

 

Varianza:

 

Función generatriz de momentos:

 

Función característica:

 

Moda:

0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)
1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)
0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)


Asimetría (Sesgo):

 

Curtosis:

 

La Curtosis tiende a infinito para valores de   cercanos a 0 ó a 1, pero para   la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.


Caracterización por la binomial:

  ; donde   es una distribución binomial.


Distribuciones RelacionadasEditar

  • Si   son   variables aleatorias identicamente distribuidas con la distribución de Bernoulli con la misma probabilidad de éxito   en todas, entonces la variable aleatoria   presenta una distribución binomial de probabilidad.

 

EjemploEditar

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

 

 

 


Ejemplo:

"Lanzar un dado y salir un 6".

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

 

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según la Regla de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

 

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

 

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro   = 1/6

 

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

 

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

 

Véase tambiénEditar