65537-gono

En geometría, un 65537-gono es un polígono con 65.537 (2¹⁶ + 1) lados. La suma de los ángulos interiores de cualquier 65537-gono que no sea autointersecante es de 11.796.300°. Presenta la particularidad de que se puede construir con regla y compás, al ser 65.537 un número de Fermat.

65537-gono
Un 65537-gono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	65.537
Vértices	65.537
Grupo de simetría	Diedral (D65537), orden 2×65537
Símbolo de Schläfli	{65537} (65537-gono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Área	$A={\frac {65537}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{65537}}$ (lado $a$)
Ángulo interior	179,994507°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico

65537-gono regular

El área de un 65537-gono normal es (con a = longitud del lado)

$A={\frac {65537}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{65537}}$

Un 65537-gono regular completo no se distingue visualmente de una circunferencia, y su perímetro difiere del de la circunferencia circunscrita en aproximadamente 15 partes por mil millones.

Construcción

El 65537-gono regular (uno con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales) es de interés por ser un polígono construible: es decir, se puede construir usando un compás y una regla sin marcar. Esto se debe a que 65.537 es un número de Fermat, siendo de la forma 2²ⁿ + 1 (en este caso n = 4).

Por lo tanto, los valores $\cos {\frac {\pi }{65537}}$ y $\cos {\frac {2\pi }{65537}}$ son números algebraicos asociados a un polinomio de grado 32768 y, como cualquier número construible, se pueden escribir en términos de raíces cuadradas y no de raíces de orden superior.

Aunque Gauss sabía en 1801 que el 65537-gono regular era construible, Johann Gustav Hermes (1894) proporcionó la primera construcción explícita de un 65537-gono regular. La construcción es muy compleja; Hermes pasó 10 años completando el manuscrito de 200 páginas.​ Otro método implica el uso de un máximo de 1332 círculos de Carlyle, y las primeras etapas de este método se muestran a continuación. Este método soluciona problemas prácticos, ya que uno de estos círculos de Carlyle resuelve la ecuación de segundo grado x² + x − 16384 = 0 (siendo 16384 precisamente 2¹⁴).​

Simetría

El 65537-gono regular tiene simetría diedral Dih₆₅₅₃₇, de orden 131.074. Dado que 65.537 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih₁, y 2 simetrías grupo cíclico: Z₆₅₅₃₇ y Z₁.

65537 grama

Un 65537 grama es una estrella de 65.537 lados. Como 65.537 es primo, hay 32.767 formas regulares representadas de la forma símbolos de Schläfli {65537/n}, para todos los números enteros 2 ≤ n ≤ 32768 como $\left\lfloor {\frac {65537}{2}}\right\rfloor =32768$.

Véase también

• Círculo
• Triángulo equilátero
• Pentágono
• Heptadecágono (17 caras)
• 257-gono

Bibliografía

• Weisstein, Eric W. «65537-gon». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Robert Dixon Mathographics. New York: Dover, p. 53, 1991.
• Benjamin Bold, Famous Problems of Geometry and How to Solve Them New York: Dover, p. 70, 1982. ISBN 978-0486242972
• H. S. M. Coxeter Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, 1969. Chapter 2, Regular polygons
• Leonard Eugene Dickson Constructions with Ruler and Compasses; Regular Polygons Ch. 8 in Monographs on Topics of Modern Mathematics
• Relevant to the Elementary Field (Ed. J. W. A. Young). New York: Dover, pp. 352–386, 1955.

Enlaces externos

• 65537-gon Archivado el 5 de enero de 2023 en Wayback Machine. mathematik-olympiaden.de (alemán), con imágenes de la documentación HERMES; recuperado el 9 de julio de 2018
• Wikibooks 65573-Eck (alemán) Construcción aproximada del primer lado en dos pasos principales
• 65537-gon, exact construction for the 1st side, usando Cuadratriz de Hipias y GeoGebra como ayudas adicionales, con breve descripción (alemán)

• Datos: Q253731