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En matemática, un G-fibrado principal es una clase especial de fibrado para la cual las fibras son todas espacios homogéneos principales respecto a un grupo topológico.

Los G-fibrados principales son G-fibrados en el sentido que el grupo G también sirve como el grupo estructural del fibrado. Los fibrados principales tienen usos importantes en la topología y la geometría diferencial. También han encontrado el uso en física del donde forman la parte de la teoría de gauge. Los fibrados principales proporcionan un marco unificador en la teoría de los fibrados en el sentido que todos los fibrados con grupo estructural G determinan un único G-fibrado principal desde el cual puede ser reconstruido el fibrado original.

Definición formalEditar

Un  -fibrado principal es un fibrado   junto a una acción a derecha continua   por un grupo topológico   tal que   preserva las fibras de   y la acción es libre y transitiva. La fibra abstracta del fibrado se la toma como   (a menudo se requiere que el espacio base   sea un espacio de Hausdorff y posiblemente paracompacto).

Se sigue que las órbitas de la  -acción son precisamente las fibras del fibrado y el espacio de órbitas es homeomorfo al espacio homogéneo  .

Un  -fibrado principal puede también ser caracterizado como un  -fibrado   con fibra   donde el grupo de la estructura actúa en la fibra por la multiplicación a izquierda. Puesto que la multiplicación a derecha por   en la fibra conmuta con la acción del grupo estructural, existe una noción invariante de multiplicación a derecha de   sobre  .

La noción de fibrado principal se puede extender a la categoría de las variedades diferenciables, requiriendo que   sea una aplicación diferenciable entre variedades,   un grupo de Lie y que la acción de   sobre   sea diferenciable.

EjemplosEditar

El ejemplo más común de un fibrado principal diferenciable es el fibrado de referencias, también llamado fibrado de marcos, de una variedad  . La fibra sobre un punto   es el sistema de todos las referencias (es decir bases ordenadas) del espacio tangente  . El grupo general lineal   actúa en forma simple y transitiva sobre el conjunto de bases. Estas fibras se pueden unir de manera natural para obtener un  -fibrado principal sobre  .

Variaciones en el ejemplo anterior incluyen el fibrado de referencias ortonormales de una variedad riemanniana. Aquí las referencias deben ser bases ortonormales respecto a la métrica. El grupo estructural es el grupo ortogonal  .

Si   es un espacio topológico y   es un cubrimiento normal (regular), esto último puede ser considerado un fibrado principal donde el grupo estructural   actúa sobre   vía la acción de monodromía. En particular, el cubrimiento universal de un espacio topológico   es un fibrado principal sobre   con grupo estructural  .

Sean   un grupo de Lie y   un un subgrupo cerrado (no necesariamente normal). Entonces   es un  -fibrado principal sobre el espacio cociente (izquierdo)  . Aquí la acción de   en   es la multiplicación a derecha. Las fibras son los coconjuntos a izquierda de   (en este caso hay una fibra distinguida, la que contiene la identidad, que es naturalmente isomorfa a  ).

Consideremos la proyección   dada por  . Este  -fibrado principal es el fibrado asociado a la banda de Moebius.

Los espacios proyectivos proporcionan ejemplos interesantes de fibrados principales. Recordemos que la  -esfera   es un cubrimiento doble del espacio proyectivo real  . La acción natural de   sobre   da la estructura de  -fibrado principal sobre  . Asimismo,   es un  -fibrado principal sobre   y   es un  -fibrado principal sobre el espacio proyectivo cuaterniónico  . Entonces tenemos una serie de fibrados principales para cada entero positivo  :

 
 
 


Aquí   denota la esfera unidad en  . Por todos estos ejemplos el caso   da los fibrados de Hopf.

Trivializaciones y seccionesEditar

Una de las preguntas más importantes con respecto a un espacio fibrado es si es o no un fibrado trivial (es decir isomorfo a un fibrado producto). Para los fibrados principales hay una caracterización conveniente de la trivialidad:

Teorema. Un fibrado principal es trivial si y solamente si admite una sección global.

Este resultado no es cierto para fibrados en general. En particular los fibrados vectoriales, por ejemplo, tienen siempre la sección cero, sean triviales o no.

El mismo teorema se aplica a las trivializaciones locales de fibrados principales. Sea   un  -fibrado principal. Un conjunto abierto   en   admite una trivialization local si y solamente si existe una sección local en  . Dado una trivialización local   podemos definir una sección local asociada

 ,
 

donde   es la identidad en  . Recíprocamente, dado una sección local   podemos definir una trivialización   por

 

El hecho de que   actúa en forma simple y transitiva garantiza que esta aplicación es una biyección. Es posible comprobar que también es un homeomorfismo. Los trivializaciones locales definidas por una sección local son  -equivariantes en el sentido siguiente: si escribimos

 

en la forma

 

entonces la aplicación   satisface

 

En términos de las secciones locales  , la aplicación   viene dada por

 

La versión local del teorema de la sección entonces indica que las trivializaciones locales equivariantes de un fibrado principal están en correspondencia con las secciones locales.

Sea   una trivialización local equivariante de   y   las secciones locales inducidas en cada  . En   las secciones   y   están relacionadas por el grupo  . En efecto, las funciones de transición entre las diferentes trivializaciones, dadas por

 

en la primera coordenada resultan ser la identidad y envían

 .

Luego para cualquier   tenemos

 

Caracterización de fibrados principales diferenciablesEditar

Si   es un  -fibrado principal diferenciable, entonces   actúa en forma propia y libre en   de modo que el espacio de órbitas   es difeomorfo al espacio base  . Resulta que esto caracteriza completamente a los fibrados principales diferenciables. Esto es, si   es una variedad diferenciable,   es un grupo de Lie y   una acción a derecha diferenciable, libre y propia entonces

  •   (espacio cociente por la acción  ) es una variedad diferenciable,
  • la proyección natural   es una sumersión, y
  •   es un  -fibrado principal diferenciable sobre  .

Reducción del grupo estructuralEditar

Sea   es un  -fibrado principal. Dado un subgrupo  , podemos considerar el fibrado   cuyas fibras son los coconjuntos  . Si el nuevo fibrado admite una sección global, diremos que la sección es una reducción del grupo estructural de   al de  . En particular, si el   es la identidad, entonces una reducción de   a la identidad es equivalente a tener una sección global del fibrado original, lo cual es equivalente a que el fibrado sea trivial. En general no existen las reducciones del grupo estructural.

Muchas preguntas sobre la estructura topológica de un fibrado se pueden reformular como preguntas sobre la admisibilidad de la reducción del grupo estructural. Por ejemplo:

  • Una variedad real  -dimensional admite una estructura compleja si el fibrado de marcos correspondiente a la variedad, cuyas fibras son  , puede ser reducido al grupo  
  • Una variedad  -dimensional admite   campos vectoriales linealmente independientes en cada punto si su fibrado del marcos es paralelizable, es decir, si el fibrado de marcos admite una sección global.
  • Una variedad real  -dimensional admite un campo  -plano si el fibrado de marcos puede ser reducido al grupo estructural  

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  • Bleecker, David (1981). Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-486-44546-1 (Dover edition). 
  • Jost, Jürgen (2005). Riemannian Geometry and Geometric Analysis ((4th ed.) edición). New York: Springer. ISBN 3-540-25907-4. 
  • Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9. 
  • Steenrod, Norman (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.