Función poligamma

En matemática, la función poligamma de orden m se define como la (m+1)-ésima derivada del logaritmo de la función gamma:

Diferentes gráficas de la función poligamma a lo largo del eje x. En naranja, para m=0, en amarillo, para m=1, en verde, para m=2, en rojo, para m=3 y en azul para m=4.

donde

es la función digamma.

RepresentacionesEditar

Representación en forma de integralEditar

La función poligamma puede ser representada en forma de integral como

 

que se cumple para Re z >0 y m > 0. Para m = 0 véase la definición de función digamma.

Relación de recurrenciaEditar

Esta tiene la siguiente relación de recurrencia

 

Teorema de multiplicaciónEditar

El teorema de multiplicación proporciona la siguiente fórmula

 

para  , y, para  , se obtiene la función digamma:

 

Representación en forma de seriesEditar

La función poligamma tiene la siguiente representación en forma de serie

 

que se cumple para m > 0 y cualquier número complejo z que no sea igual a un número negativo. Esta representación puede ser escrita de manera más compacta en términos de la función zeta de Hurwitz como

 

Alternativamente, la función zeta de Hurwitz puede ser entendida como la generalización de la función poligamma a un orden no entero arbitrario.

Una serie más se puede permitir a las funciones poligamma. como la dada por Oskar Schlömilch,

 . Este es un resultado del teorema de factorización de Weierstrass.

Por lo tanto, la función gamma puede ser definida ahora como:

 

De esta manera, el logaritmo natural de la función gamma es fácilmente representable:

 

Finalmente, se llega a una representación en forma de sumatorio para la función poligamma:

 

Donde   es la delta de Kronecker.

Serie de TaylorEditar

La serie de Taylor en z = 1 es

 

que converge para todo |z| < 1. Aquí, ζ es la función zeta de Riemann. Esta serie se deriva de la correspondiente serie de Taylor para la función zeta de Hurwitz. Esta serie se puede utilizar para obtener un número de series zeta racionales.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

Enlaces externosEditar