Abrir menú principal

Grupo resoluble

un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo; equivalentemente, un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial

En la teoría de grupos, un grupo resoluble (o soluble) es un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo. Equivalentemente, un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial.

DefiniciónEditar

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos   tal que:

 

donde para cada   se cumple que:

  •   es subgrupo normal en  , notado usualmente como  .
  • El grupo cociente   es abeliano.

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre, según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos   y  . Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

  donde   para todo i.

El grupo es soluble si existe   tal que  .

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo   y un subgrupo normal  , se tiene que   es abeliano si y solo si  .

EjemplosEditar

  • Todo grupo abeliano es resoluble, ya que   y  , dado que   y además  , por lo que es abeliano.
  •   es resoluble. Basta ver que   es una torre abeliana, con   el grupo alternado para  .
  •   es resoluble. Basta ver que  , es una torre abeliana de  , donde  .
  •   es resoluble. Se puede ver que   es una torre abeliana de  .
  •   es un grupo no resoluble, ya que se conoce que   es simple, por lo que la única cadena posible es  , pero   no es abeliano, dado que  .

PropiedadesEditar

  • Si   es un grupo soluble y   es un homomorfismo de grupos entonces   es soluble. Esto es equivalente, gracias al primer teorema de isomorfismos, a que si   y   es soluble entonces   es soluble.
  • Si   es soluble y   entonces   es soluble.
  • Si   verifican que tanto   como   son solubles entonces   es soluble.
  • De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo   es soluble si y solo si   y   lo son.

ImportanciaEditar

Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.[1]

ReferenciasEditar

  1. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo4.pdf , apuntes de la asignatura Álgebra 2, de la Universidad Autónoma de Madrid, escritas por Fernando Chamizo.