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Imagen de un homomorfismo de grupos (h) de G(izquierda) en H(derecha). El óvalo menor dentro de H es la imagen de h. N es el núcleo de h y aN es una clase lateral de N.

En álgebra, un homomorfismo de grupos es una función entre grupos que preserva la operación binaria.

Dados dos grupos y la aplicación es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación () es la ley de composición interna en , y la operación del lado derecho de la ecuación () es la ley de composición interna en .[1]

Si la aplicación es biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos, lo que significa que ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.

DefinicionesEditar

Dados dos grupos   y  , en el que cada grupo está compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composición interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una función que asigne a cada elemento g de   un elemento h de  :

 

Dicha función es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos  

 

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación ( ) es la ley de composición interna en  , y la operación del lado derecho de la ecuación ( ) es la ley de composición interna en  .[1]

Imagen de  Editar

El conjunto de todos los elementos de   que son la imagen de algún elemento de   se llama la imagen de la aplicación, y se denota   o  .[2]​ Formalmente:

 

La imagen de   es un subgrupo de  .

El núcleo o kernelEditar

El conjunto de todos los elementos de   cuya imagen es el elemento identidad de   se llama núcleo (kernel) de  :

 

El núcleo de   es un subgrupo normal de G. El núcleo es importante porque no sólo determina qué elementos tienen por imagen la identidad, sino también qué elementos tienen la misma imagen:[3]

Dado  
ya que  

Los conjuntos de todos los elementos que comparten una misma imagen son las clases laterales del núcleo.

EjemplosEditar

La función exponencial en un homomorfismo de grupos entre los números reales bajo la adición y el grupo multiplicativo de los reales no nulos (excluido el 0):

 

dado que  

La imagen de la función exponencial es el subgrupo de los números reales positivos, y el núcleo es solo el elemento identidad (el 0), ya que la aplicación es inyectiva.

La función determinante, definida sobre el grupo multiplicativo de matrices invertibles (grupo general lineal) en los números reales no nulos, es un homomorfismo de grupos:

 

dado que  .

Tipos de homomorfismosEditar

  • un monomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos inyectivo, aquel en el no hay dos elementos de   con la misma imagen:
 
El núcleo de un monomorfismo sólo contiene al elemento identidad, y a la inversa, cuando el núcleo sólo contiene al elemento identidad entonces la función es un monomorfismo.
  • un epimorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos sobreyectivo, aquel en el que todo elemento de   es imagen de algún elemento de  . Bajo estas condiciones, la imagen de   es todo  :
 
  • un isomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos que es simultáneamente inyectivo y sobreyectivo, o lo que es lo mismo, biyectivo. cuando esto ocurre, ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar al conjunto, los elementos y la operación.
  • un endomorfismo es un homomorfismo de un grupo en sí mismo:
 .
  • un automorfismo es un endomorfismo biyectivo. Nótese que, en un grupo finito, cuando un endomorfismo es inyectivo entonces es sobreyectivo, y viceversa. El conjunto de todos los automorfismos de un grupo G, con la composición de funciones como operación, es en sí mismo un grupo llamado grupo de automorfismos de G (Aut(G)). Como ejemplo, el grupo de automorfismos de   sólo contiene dos elementos: la transformación identidad [f(n)=n] y la multiplicación por -1 [f(n)=-n], por lo que es isomorfo a  .

PropiedadesEditar

Dado un homomorfismo de grupos  , se verifican las siguientes propiedades:

  • La imagen del elemento identidad de   es el elemento identidad de  : .
Demostración

Por ser   la identidad:  

Por ser   un homomorfismo:  

Multiplicando por  :  

Simplificando:  .

  • El núcleo de   es un subconjunto no vacío: .
Demostración

Por el resultado anterior  , así que el núcleo contiene como mínimo al elemento identidad.

  • La imagen de un inverso es el inverso de la imagen:  .
Demostración

Aplicando las propiedades obtenidas hasta ahora:

 

y dado que los elemento inversos son únicos:  .

  • Si   es un subgrupo de  , su imagen   es un subgrupo de  .
Demostración

Veamos que se cumplen las siguientes propiedades:

  •   es cerrado bajo la operación del grupo:
 
 
  • Contiene la identidad:  
  • Contiene los inversos:  
  • Si   es un subgrupo de  , su preimagen   es un subgrupo de  .
Demostración

Veamos que se cumplen las siguientes propiedades:

  •   es cerrado bajo la operación del grupo:
 
 
  • Contiene la identidad:  
  • Contiene los inversos:  
  • Continuando lo anterior, si   es normal en  , entonces su preimagen   es normal en  :[4]
Demostración

Para demostrar que   es normal en   se debe cumplir que

 

pero  

dado que   es normal en  .

  • El núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal de  : .
Demostración

Primero veamos que es un subgrupo:

  • El núcleo de   es cerrado:
para todo  
  • Contiene al elemento identidad:  , como ya se demostró antes.
  • Contiene los inversos: para todo  

Además, es un subgrupo normal en   porque es la preimagen de   (el subgrupo trivial de  ), que es normal en  .

  • La imagen de   es un subgrupo de  :  .
Demostración

Veamos que se cumplen las siguientes propiedades:

  • La imagen de   es cerrada:
 .
  • Contiene al elemento identidad:  
  • Contiene los inversos:  

Teoremas fundamental y de isomorfíaEditar

 
El teorema fundamental expresado como un diagrama conmutativo.

Teorema fundamentalEditar

Sean   un homomorfismo de grupos y   un subgrupo normal de   contenido en el núcleo de  , entonces existe un único homomorfismo   tal que  , en donde   es la proyección canónica y   es un grupo cociente.[5]

Teoremas de isomorfismoEditar

  • El primera teorema es un caso particular del teorema fundamental:

Sea   un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo  , y por tanto  

  • Segundo teorema:

Si   y   son subgrupos de un grupo  , con   normal en  , entonces   es un subgrupo de  ,   es normal en   y  

  • Tercer teorema:

Si   y   son subgrupos normales de un grupo  , con  , entonces  

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

NotasEditar

  1. a b (Judson, 2012, p. 169)
  2. (Artin, 2011, p. 48)
  3. (Artin, 2011, p. 49)
  4. Judson, 2012, p. 170.
  5. «Fundamental homomorphism theorem». planetmath.org. Consultado el 1 de septiembre de 2013. 

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar