Número de Heegner

En teoría de números, un número de Heegner (como lo llaman Conway y Guy) es un entero positivo sin cuadrados tal que el campo cuadrático imaginario tiene número de clase . De manera equivalente, su anillo de enteros posee una factorización única.[1]

La determinación de tales números es un caso especial del problema del número de clase, con varios resultados sorprendentes en la teoría de números.

De acuerdo con el teorema de (Baker-)Stark-Heegner, hay exactamente nueve números de Heegner:

. (sucesión A003173 en OEIS)

Gauss conjeturó este resultado y Kurt Heegner lo demostró con algunos defectos menores en 1952. Alan Baker y Harold Stark probaron independientemente el resultado en 1966, y Stark indicó además que el defecto en la prueba de Heegner era menor.[2]

El polinomio de generación principal de EulerEditar

El polinomio de generación principal de Euler

 

que da primos (distintos) para n = 1, ..., 40, está relacionado con el número 163 de Heegner   =   4 · 41 - 1)

La fórmula de Euler, con   tomando los valores entre 1, ... 40 es equivalente a

 

con   tomando los valores 0, ... 39. Rabinowitz[3]​ demostró que

 

da primos para   si y solo si su discriminante   es el negativo de un número de Heegner.

(Téngase en cuenta que si   produce  , entonces   es un máximo). 1, 2 y 3 no tienen la forma requerida, por lo que los números de Heegner que funcionan son  , produciendo funciones generadoras principales de la forma de Euler para  ; estos últimos números fueron denominados números afortunados de Euler por el matemático F. Le Lionnais.[4]

Casi enteros y la constante de RamanujanEditar

La constante de Ramanujan es el número trascendental  , que es un casi entero, ya que está muy cerca de un entero:

  [5] 

Este número fue descubierto en 1859 por el matemático Charles Hermite.[6]​ En un artículo de 1975 de April Fool en la revista Scientific American,[7]​ el columnista de la sección "Juegos matemáticos" Martin Gardner hizo la falsa afirmación de que el número era en realidad un número entero, y que el genio matemático indio Srinivasa Ramanujanlo había predicho, y de ahí su nombre.

Esta coincidencia se explica por la multiplicación compleja y la expansión q del j-invariante.

DetalleEditar

Brevemente,   es un entero cuando d es un número de Heegner, y   a través de la q- expansión.

Si   es un irracional cuadrático, entonces el j- invariante es un entero algebraico de grado  , el número de clase de   y el polinomio mínimo (entero mónico) que lo satisface se llama 'polinomio de clase de Hilbert'. Así, si la extensión cuadrática imaginaria   tiene la clase número 1 (entonces d es un número de Heegner), el j- invariante es un número entero.

La expansión q de j, con su expansión de la serie de Fourier escrita como una serie de Laurent en términos de  , comienza como:

 

Los coeficientes   crecen asintóticamente como  , y los coeficientes de orden más bajo crecen más lentamente que  . Entonces, para  , j está muy bien aproximado por sus dos primeros términos. Ajustando   se obtiene   o equivalentemente,   . Ahora  , y entonces

 

O,

 

donde el término lineal del error es

 

explicando por qué   está tan aproximadamente cercano a ser un número entero.

Fórmulas PiEditar

Los hermanos Chudnovsky descubrieron en 1987 que

 

que usa el hecho de que  . Para fórmulas similares, véase la serie de Ramanujan-Sato.

Otros números de HeegnerEditar

Para los cuatro números más grandes de Heegner, las aproximaciones que se obtienen [8]​ son las siguientes.

 

Alternativamente, [9]

 

donde la razón de los cuadrados se debe a ciertas series de Eisenstein. Para números de Heegner  , no se obtiene un número casi entero; incluso   no es digno de mención. Los enteros j- invariantes son altamente factorizables, lo que se deduce de  , forma y factor como

 

Estos números trascendentales, además de estar estrechamente aproximados por enteros (que son simplemente números algebraicos de grado 1), se pueden aproximar estrechamente por números algebraicos de grado 3,[10]

 

Las raíces de los polinomios de tercer grado se pueden dar exactamente por cocientes de la función eta de Dedekind η(τ), una función modular que implica una raíz 24 y que explica la aparición del número 24 en la aproximación. También se pueden aproximar estrechamente por números algebraicos de grado 4,[11]

 

Si   denota la expresión entre paréntesis (p. ej.   ), satisface respectivamente las ecuaciones cuárticas

 

Téngase en cuenta la reaparición de los enteros   así como el hecho de que

 

que, con la potencia fraccional apropiada, son precisamente los j-invariantes.

Similarmente para números algebraicos de grado 6,

 

donde las x están dadas respectivamente por la raíz apropiada de las ecuaciones séxticas,

 

con los j-invariantes apareciendo de nuevo. Estas ecuaciones séxticas no solo son algebraicas, sino que también se pueden resolver en radicales, ya que se convierten en dos cúbicas sobre la extensión   (con la primera factorización adicional en dos polinomios cuadráticos). Estas aproximaciones algebraicas se pueden expresar exactamente en términos de cocientes eta de Dedekind. Como ejemplo, sea  , entonces

 

donde los cocientes eta son los números algebraicos dados anteriormente.

Números de clase 2Editar

Los tres números  , para los que el campo cuadrático imaginario   tiene número de clase  , no se consideran números de Heegner, pero tienen ciertas propiedades similares en términos de casi enteros. Por ejemplo, se tiene que

 

y

 

Primos consecutivosEditar

Dado un primo impar p, si se calcula   para   (esto es suficiente porque  ), se obtienen compuestos consecutivos, seguidos de números primos consecutivos, si y solo si p es un número de Heegner.[12]

Para más detalles, consúltese "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" (Polinomios Cuadráticos que Producen Primos Distintos Consecutivos y Grupos de Clase de Campos Cuadráticos Complejos), de Richard Mollin.[13]

ReferenciasEditar

  1. Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. Springer. p. 224. ISBN 0-387-97993-X. 
  2. Stark, H. M. (1969), «On the gap in the theorem of Heegner», Journal of Number Theory 1: 16-27, doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7 .
  3. Rabinovitch, Georg "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern."
  4. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables.
  5. Ramanujan Constant – from Wolfram MathWorld
  6. Barrow, John D (2002). The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. ISBN 0-224-06135-6. 
  7. Gardner, Martin (April 1975). «Mathematical Games». Scientific American (Scientific American, Inc) 232 (4): 127. 
  8. Esto puede verificarse computando   en una calculadora, y   para el término lineal del error.
  9. http://groups.google.com.ph/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en#
  10. «Pi Formulas». 
  11. «Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients». 
  12. http://www.mathpages.com/home/kmath263.htm
  13. Mollin, R. A. (1996). «Quadratic polynomials producing consecutive, distinct primes and class groups of complex quadratic fields». Acta Arithmetica 74: 17-30. 

Enlaces externosEditar